Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Unidimensional
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El movimiento de un cuerpo está dado por el gráfico de la velocidad en función del tiempo, v = f(t):
Determinar:
a) El espacio recorrido entre 1 s y 9 s;
b) La velocidad media entre 1 s y 9 s;
c) La aceleración media entre 1 s y 9 s.
Solución
a) En un gráfico de la velocidad en función del tiempo, v = f(t), el espacio recorrido es igual al área bajo la curva. El eje de las abscisas (eje del tiempo) está dividido en unidades de 1 s, el eje de las ordenadas (eje de la velocidad) está dividido en unidades de 1 m/s. El área de un cuadrado es el producto de los lados.
\[
\begin{gather}
1\;\cancel{\mathrm s}\times 1\;\frac{\mathrm m}{\cancel{\mathrm s}}=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
un cuadrado en el gráfico representa 1 m de desplazamiento del móvil.
Entre los instantes 4 s y 9 s, contamos directamente 15 cuadrados que representan 15 m de desplazamiento
(Figura 1)
\[
\begin{gather}
A_{1}=15\;\mathrm m
\end{gather}
\]
De la Figura 2, observamos que entre 1 s y 2 s, tenemos medio cuadrado, lo que representa 0,5 m de
desplazamiento
\[
\begin{gather}
A_{2}=0,5\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Entre 3 s y 4 s, las áreas entre las velocidades de 0 m/s y 1 m/s, y entre 2 m/s y 3 m/s, se completan
para formar un cuadrado, y el desplazamiento será de 1 m
\[
\begin{gather}
A_{3}=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
entre las velocidades de 1 m/s y 2 m/s, tenemos medio cuadrado, lo que representa 0,5 m de
desplazamiento
\[
\begin{gather}
A_{4}=0,5\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Entre 4 s y 6 s, las áreas se completan para formar un cuadrado, y el desplazamiento será de 1 m
\[
\begin{gather}
A_{5}=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Entre 7 s y 9 s, tenemos dos medias áreas que se completan para formar un cuadrado, y el desplazamiento será
de 1 m
\[
\begin{gather}
A_{6}=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
El espacio recorrido será el área total dada por la suma de las áreas encontradas
\[
\begin{gather}
\Delta S=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}+A_{6}\\[5pt]
\Delta S=15+0,5+1+0,5+1+1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta S=19\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) La velocidad media se calcula mediante
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
utilizando el espacio recorrido encontrado en el apartado (a)
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{19}{9-1}\\[5pt]
v_m=\frac{19}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
c) La aceleración media se calcula mediante
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
del gráfico, sabemos que para t1 = 1 s, la velocidad es v1 = 1 m/s, y
para t2 = 9 s, la velocidad es v2 = 2 m/s
\[
\begin{gather}
a_m=\frac{2-1}{9-1}\\[5pt]
a_m=\frac{1}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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