Die Bewegung eines Körpers ist durch das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, v = f(t), gegeben:
Zu bestimmen:
a) Die zurückgelegte Strecke zwischen 1 s und 9 s;
b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen 1 s und 9 s;
c) Die mittlere Beschleunigung zwischen 1 s und 9 s.
Lösung:
a) In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, v = f(t), ist die zurückgelegte Strecke gleich der
Fläche unter der Kurve. Die Abszissenachse (Zeitachse) ist in Einheiten von 1 s eingeteilt, die Ordinatenachse
(Geschwindigkeitsachse) ist in Einheiten von 1 m/s eingeteilt. Die Fläche eines Quadrats ist das Produkt seiner
Seitenlängen.
\[
\begin{gather}
1\;\cancel{\mathrm s}\times 1\;\frac{\mathrm m}{\cancel{\mathrm s}}=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
ein Quadrat im Diagramm entspricht einem Weg von 1 m des Körpers.
Zwischen den Zeitpunkten 4 s und 9 s haben wir durch direktes Zählen 15 Quadrate, die einem Weg von 15 m
entsprechen (Abbildung 1).
\[
\begin{gather}
A_1=15\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Aus Abbildung 2 sehen wir, dass wir zwischen 1 s und 2 s ein halbes Quadrat haben, was einem Weg von 0,5 m
entspricht.
\[
\begin{gather}
A_2=0,5\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Zwischen 3 s und 4 s ergänzen sich die Flächen zwischen den Geschwindigkeiten 0 und 1 m/s sowie zwischen 2 m/s und
3 m/s zu einem Quadrat, und der Weg beträgt 1 m.
\[
\begin{gather}
A_3=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
zwischen den Geschwindigkeiten 1 m/s und 2 m/s haben wir ein halbes Quadrat, was einem Weg von 0,5 m entspricht.
\[
\begin{gather}
A_4=0,5\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Zwischen 4 s und 6 s ergänzen sich die Flächen zu einem Quadrat, und der Weg beträgt 1 m.
\[
\begin{gather}
A_5=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Zwischen 7 s und 9 s haben wir zwei halbe Flächen, die sich zu einem Quadrat ergänzen, und der Weg beträgt 1 m.
\[
\begin{gather}
A_6=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Der zurückgelegte Weg entspricht der Gesamtfläche, die sich aus der Summe der ermittelten Flächen ergibt.
\[
\begin{gather}
\Delta S=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6 \\[5pt]
\Delta S=15+0,5+1+0,5+1+1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{\Delta S=19\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
unter Verwendung der im Teil (a) ermittelten zurückgelegten Strecke
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{19}{9-1} \\[5pt]
v_m=\frac{19}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
c) Die mittlere Beschleunigung ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
aus dem Diagramm ergibt sich, dass für t1 = 1 s die Geschwindigkeit v1 = 1 m/s
beträgt und für t2 = 9 s die Geschwindigkeit v2 = 2 m/s beträgt.
\[
\begin{gather}
a_m=\frac{2-1}{9-1} \\[5pt]
a_m=\frac{1}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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