Esercizio Risolto di Impulso, Quantità di Moto e Urti

FISICAEXE

Nella figura, m_a = 1 kg e m_b = 2 kg, si trascura l'attrito tra i corpi e il piano di appoggio, e la molla ha massa trascurabile. La molla compressa tra i blocchi e il sistema viene lasciato in riposo. La molla si distende e cade poiché non è fissata a nessuno dei due. Il corpo B acquista una velocità di 0,5 m/s. Determinare l'energia potenziale elastica della molla nell'istante in cui il sistema viene lasciato libero.

Dati del problema:

Massa del blocco A: m_a = 1 kg;
Massa del blocco B: m_b = 2 kg;
Velocità del blocco B: v_b = 0,5 m/s.

Schema del problema:

Inizialmente l'energia totale del sistema è sotto forma di energia potenziale elastica della molla, E_e, e le velocità iniziali dei blocchi sono nulle, v_0a = v_0b = 0, poiché il sistema è inizialmente in riposo. Quando il sistema viene liberato, la molla inizia a spingere i blocchi e l'energia potenziale elastica della molla inizia a convertirsi in energia cinetica dei blocchi A e B, \( E_{c a} \) e \( E_{c b} \), dovuta alla velocità che i blocchi acquistano. Infine, quando la molla sarà completamente distesa, l'energia totale del sistema sarà sotto forma di energia cinetica dei blocchi che si muovono con velocità v_a e v_b = 0,5 m/s (Figura 1).

Figura 1

Soluzione:

L'energia totale del sistema sarà data dal Principio di Conservazione dell'Energia Meccanica

\[ \begin{gather} E_{m i}=E_{m f} \\[5pt] U_{el}=E_{c a}+E_{c b} \end{gather} \]

l'energia cinetica è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} U_{el}=\frac{m_av_a^2}{2}+\frac{m_bv_b^2}{2} \tag{I} \end{gather} \]

La velocità finale del blocco A si ottiene dalla Conservazione della Quantità di Moto

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \end{gather} \]

La quantità di moto è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} Q_{a i}+Q_{b i}=Q_{a f}+Q_{b f} \\[5pt] m_av_{0 a}+m_bv_{0 b}=m_av_a+m_bv_b \end{gather} \]

sostituendo i dati del problema

\[ \begin{gather} 1\times 0+2\times 0=1v_a+2.0,5 \\[5pt] 0=v_a+1 \\[5pt] v_a=-1\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Sostituendo i dati del problema e la velocità del blocco A, trovata sopra, nell'equazione (I)

\[ \begin{gather} U_{el}=\frac{1\times(-1)^2}{2}+\frac{2\times 0,5^2}{2} \\[5pt] U_{el}=\frac{1}{2}+\frac{2\times 0.25}{2} \\[5pt] U_{el}=\frac{1}{2}+\frac{0,5}{2} \\[5pt] U_{el}=\frac{1,5}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {U_{el}=0,75\;\mathrm J} \end{gather} \]