Exercício Resolvido de Quantidade de Movimento
publicidade   

Na figura, ma = 1 kg e mb = 2 kg, despreza-se o atrito entre os corpos e o plano de apoio, e a mola possui massa desprezível. A mola comprimida entres os blocos e o sistema é abandonado em repouso. A mola distende-se e cai por não estar presa a nenhum deles. O corpo B adquire velocidade de 0,5 m/s. Determine a energia potencial elástica da mola no instante em que o sistema é abandonado livremente.

Dados do problema:

  • Massa do bloco A:    ma = 1 kg;
  • Massa do bloco B:    mb = 2 kg;
  • Velocidade do bloco B:    vb = 0,5 m/s.

Esquema do problema:

Inicialmente a energia total do sistema está na forma de energia potencial elástica da mola, Ee, e as velocidades iniciais dos blocos são nulas, v0a = v0b = 0, já que o sistema está inicialmente em repouso. Quando o sistema é liberado a mola começa a empurrar os blocos e a energia potencial elástica da mola começa a se converter em energia cinética dos blocos A e B, \( E_{c a} \) e \( E_{c b} \), devido à velocidade que os blocos adquirem. Finalmente quando a mola estiver completamente distendida e a energia total do sistema estará na forma de energia cinética dos blocos se deslocando com velocidades va e vb = 0,5 m/s (Figura 1).

Figura 1

Solução:

A energia total do sistema será dada pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica

\[ \begin{gather} E_{m i}=E_{m f} \\[5pt] E_e=E_{c a}+E_{c b} \end{gather} \]

a energia cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} E_e=\frac{m_av_a^2}{2}+\frac{m_bv_b^2}{2} \tag{I} \end{gather} \]

A velocidade final do bloco A é obtida da Conservação da Quantidade de Movimento

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \end{gather} \]

A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} Q_{a i}+Q_{b i}=Q_{a f}+Q_{b f} \\[5pt] m_av_{0 a}+m_bv_{0 b}=m_av_a+m_bv_b \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} 1\times 0+2\times 0=1v_a+2.0,5 \\[5pt] 0=v_a+1 \\[5pt] v_a=-1\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Substituindo os dados do problema e a velocidade do bloco A, encontrada acima, na equação (I)

\[ \begin{gather} E_e=\frac{1\times(-1)^2}{2}+\frac{2\times 0,5^2}{2} \\[5pt] E_e=\frac{1}{2}+\frac{2\times 0.25}{2} \\[5pt] E_e=\frac{1}{2}+\frac{0,5}{2} \\[5pt] E_e=\frac{1,5}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_e=0,75\;\mathrm J} \end{gather} \]
publicidade