Gelöste Aufgabe zu Impuls und Stöße

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FISICAEXE

In der Abbildung gilt m_a = 1 kg e m_b = 2 kg. Die Reibung zwischen den Körpern und der Auflagefläche wird vernachlässigt, und die Masse der Feder ist vernachlässigbar. Die zwischen den Blöcken zusammengedrückte Feder und das System werden aus der Ruhe freigegeben. Die Feder dehnt sich aus und fällt herunter, da sie an keinem der beiden Blöcke befestigt ist. Der Körper B erreicht eine Geschwindigkeit von 0,5 m/s. Bestimmen Sie die elastische potenzielle Energie der Feder in dem Augenblick, in dem das System frei aus der Ruhe gelassen wird.

Gegebene Daten:

Masse des Block A: m_a = 1 kg;
Masse des Block B: m_b = 2 kg;
Geschwindigkeit des Blocks B: v_b = 0,5 m/s.

Schema des Problems:

Anfangs liegt die gesamte Energie des Systems in Form der elastischen potenziellen Energie der Feder, E_s, vor, und die Anfangsgeschwindigkeiten der Blöcke sind null, v_0a = v_0b = 0, da sich das System zunächst in Ruhe befindet. Wenn das System freigegeben wird, beginnt die Feder, die Blöcke zu stoßen, und die elastische potenzielle Energie der Feder beginnt, sich in kinetische Energie der Blöcke A und B umzuwandeln, \( E_{kin a} \) und \( E_{kin b} \), zwar aufgrund der Geschwindigkeit, die die Blöcke erwerben. Schließlich, wenn die Feder vollständig gedehnt ist, liegt die gesamte Energie des Systems in Form der kinetischen Energie der Blöcke vor, die sich mit den Geschwindigkeiten v_a und v_b = 0,5 m/s bewegen (Abbildung 1).

Abb. 1

Lösung:

Die gesamte Energie des Systems ist nach dem Energieerhaltungssatz für mechanische System gegeben durch

\[ \begin{gather} E_{m i}=E_{m f} \\[5pt] E_s=E_{kin a}+E_{kin b} \end{gather} \]

die kinetische Energie ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {E_{kin}=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E_s=\frac{m_av_a^2}{2}+\frac{m_bv_b^2}{2} \tag{I} \end{gather} \]

Die Endgeschwindigkeit des Blocks A wird aus dem Impulserhaltungssatz bestimmt.

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \end{gather} \]

Der Impuls ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} Q_{a i}+Q_{b i}=Q_{a f}+Q_{b f} \\[5pt] m_av_{0 a}+m_bv_{0 b}=m_av_a+m_bv_b \end{gather} \]

durch Einsetzen der gegebenen Daten

\[ \begin{gather} 1\times 0+2\times 0=1v_a+2.0,5 \\[5pt] 0=v_a+1 \\[5pt] v_a=-1\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Durch Einsetzen der gegebenen Daten und der oben bestimmten Geschwindigkeit des Blocks A in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} E_s=\frac{1\times(-1)^2}{2}+\frac{2\times 0,5^2}{2} \\[5pt] E_s=\frac{1}{2}+\frac{2\times 0.25}{2} \\[5pt] E_s=\frac{1}{2}+\frac{0,5}{2} \\[5pt] E_s=\frac{1,5}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {E_s=0,75\;\mathrm J} \end{gather} \]