Esercizio Risolto di Impulso, Quantità di Moto e Urti

FISICAEXE

Dalla cima di un edificio alto 100 m viene lasciato cadere, da fermo, un mattone di massa 900 g sotto l'azione della forza peso. Calcolare:
a) La velocità del mattone quando tocca il suolo;
b) La quantità di moto del mattone quando tocca il suolo;
c) L'impulso della forza agente sul mattone durante la caduta.

Dati del problema:

Altezza della caduta: S = 100 m;
Massa del mattone: m = 900 g;
Velocità iniziale del mattone: v₀ = 0;
Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s².

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento orientato verso il basso con origine sulla cima dell'edificio. Poiché il mattone parte da fermo, la sua velocità iniziale è nulla, v₀ = 0, anche la sua posizione iniziale è nulla, S₀ = 0, e l'accelerazione di gravità ha lo stesso verso del sistema di riferimento (Figura 1).

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire la massa del mattone data in grammi (g) per chilogrammi (kg) usati nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI)

\[ \begin{gather} m=900\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=0,9\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

a) Il mattone durante la caduta è in caduta libera sotto l'azione dell'accelerazione di gravità, in Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

l'accelerazione del moto è la stessa accelerazione di gravità, a = g, e sostituendo gli altri valori

\[ \begin{gather} S=S_0+v_0t+\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] 100=0+0\times t+\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt] 100=4,9t^2 \\[5pt] t^2=\frac{100}{4,9} \\[5pt] t=\sqrt{20,4\;} \\[5pt] t\approx 4,5\;\mathrm{s} \end{gather} \]

questo è l'intervallo di tempo necessario affinché il mattone raggiunga il suolo. L'equazione della velocità in funzione del tempo è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+at} \end{gather} \]

sostituendo l'intervallo di tempo trovato, essendo a = g e la velocità iniziale nulla

\[ \begin{gather} v=v_0+gt \\[5pt] v=0+9,8\times 4,5 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v\approx 44,1\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) La quantità di moto è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \tag{I} \end{gather} \]

sostituendo la massa data del mattone e la velocità calcolata nel punto precedente

\[ \begin{gather} Q=0,9\times 44,3 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=39,9\;\mathrm{kg.m/s}} \end{gather} \]

c) L'impulso di una forza è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {I=F\Delta t} \end{gather} \]

la forza peso è l'unica che agisce sul mattone, data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {P=mg} \end{gather} \]

usando l'intervallo di tempo calcolato al punto (a)

\[ \begin{gather} I=P\Delta t \\[5pt] I=mg\Delta t \\[5pt] I=0,9\times 9,8\times 4,5 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {I=39,7\;\mathrm{N.s}} \end{gather} \]