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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zu Impuls und Stöße
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Von der Spitze eines 100 m hohen Gebäudes wird ein Ziegelstein mit einer Masse von 900 g aus der Ruhe fallen gelassen. Dabei wirkt auf ihn die Gewichtskraft. Berechnen Sie:
a) Die Geschwindigkeit des Ziegelsteins beim Auftreffen auf den Boden;
b) Den Impuls des Ziegelsteins beim Auftreffen auf den Boden;
c) Den Impuls der auf den Ziegelstein wirkenden Kraft während des Falls.

Gegebene Daten:

  • Fallhöhe: S = 100 m;
  • Masse des Ziegelsteins: m = 900 g;
  • Anfangsgeschwindigkeit des Ziegelsteins: v0 = 0;
  • Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s2.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem, das nach unten orientiert ist und seinen Ursprung an der Spitze des Gebäudes hat. Da der Ziegelstein aus der Ruhe startet, ist seine Anfangsgeschwindigkeit null, v0 = 0, seine Anfangsposition ist ebenfalls null, S0 = 0, und die Erdbeschleunigung zeigt in dieselbe Richtung wie das Bezugssystem (Abbildung 1).
Abb. 1

Lösung:

Zuerst müssen wir die im Problem angegebene Masse des Ziegelsteins von Gramm (g) in Kilogramm (kg) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} m=900\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=0,9\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

a) Beim Fallen befindet sich der Ziegelstein unter der Wirkung der Erdbeschleunigung im freien Fall, bei einer Gleichmäßig Beschleunigten Geradlinigen Bewegung.

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

ist die Beschleunigung der Bewegung gleich der Erdbeschleunigung selbst, a = g, und durch Einsetzen der Werte

\[ \begin{gather} S=S_0+v_0t+\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] 100=0+0\times t+\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt] 100=4,9t^2 \\[5pt] t^2=\frac{100}{4,9} \\[5pt] t=\sqrt{20,4\;} \\[5pt] t\approx 4,5\;\mathrm{s} \end{gather} \]

dies ist das Zeitintervall, das der Ziegelstein benötigt, um den Boden zu erreichen. Die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+at} \end{gather} \]

durch Einsetzen des gefundenen Zeitintervalls, wobei a = g und die Anfangsgeschwindigkeit null ist

\[ \begin{gather} v=v_0+gt \\[5pt] v=0+9,8\times 4,5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v\approx 44,1\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Der Impuls ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \end{gather} \]

durch Einsetzen der für den Ziegelstein gegebenen Masse und der im vorherigen Punkt berechneten Geschwindigkeit

\[ \begin{gather} Q=0,9\times 44,3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=39,9\;\mathrm{kg.m/s}} \end{gather} \]

c) Der Impuls einer Kraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {I=F\Delta t} \end{gather} \]

Die Gewichtskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {P=mg} \end{gather} \]

unter Verwendung des im Punkt (a) berechneten Zeitintervalls

\[ \begin{gather} I=P\Delta t \\[5pt] I=mg\Delta t \\[5pt] I=0,9\times 9,8\times 4,5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {I=39,7\;\mathrm{N.s}} \end{gather} \]
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