Un pallone a idrogeno di peso pari a 600 N è legato a una corda in equilibrio statico verticale. Il suo volume è pari
a 80 m3 e la densità dell’aria è pari a 1,25 kg/m3. Determinare:
a) La forza di Archimede dovuta all’aria sul pallone;
b) La forza di tensione nella corda che sostiene il pallone;
c) L’accelerazione acquisita dal pallone, quando la corda si rompe.
Considerare costante la forza di Archimede dell’aria.
Dati del problema:
- Forza peso del pallone: P = 600 N;
- Volume del pallone: Vp = 80 m3;
- Densità dell’aria: ρa = 1,25 kg/m3;
- Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s2.
Schema del problema:
Sul pallone agiscono la forza peso,
\( \vec P \),
la forza di Archimede dovuta all’aria,
\( {\vec F}_{\small A} \),
e la forza di tensione della corda,
\( \vec T \),
che lega il pallone (Figura 1).
Soluzione:
a) La forza di Archimede è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{F_{\small A}=m_{\small L}g} \tag{I}
\end{gather}
\]
dove mL è la massa di liquido spostato dal corpo, in questo caso l’aria, ma.
La densità è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{d=\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
con il volume, V, del corpo è uguale al volume dell’aria spostata dal pallone, Vp, e
ρ è la densità dell’aria, ρa
\[
\begin{gather}
m_a=d_aV_p \tag{II}
\end{gather}
\]
sostituendo l’equazione (II) nell’equazione (I)
\[
\begin{gather}
F_{\small A}=d_aV_p g \\[5pt]
F_{\small A}=1,25\times 80\times 9,8
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{F_{\small A}=980\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
b) Poiché il pallone è in equilibrio statico, la risultante delle forze che agiscono sul pallone è uguale a zero.
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\sum F=0}
\end{gather}
\]
Scegliendo un sistema di riferimento orientato verso l’alto (Figura 2), la risultante delle forze sarà
\[
\begin{gather}
F_{\small A}-P-T=0 \\[5pt]
T=F_{\small A}-P \\[5pt]
T=980-600
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{T=380\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
c) Quando la corda si rompe, la forza di tensione cessa di esistere e il pallone si muove sotto l’azione della
forza risultante tra la forza peso e la forza di Archimede (Figura 3). Scegliendo un sistema di riferimento
orientato verso l’alto e applicando la
Seconda Legge di Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{\small A}-P=ma \tag{III}
\end{gather}
\]
La forza peso del pallone è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{P=mg}
\end{gather}
\]
la massa del pallone sarà
\[
\begin{gather}
m=\frac{P}{g} \tag{IV}
\end{gather}
\]
sostituendo l’equazione (IV) nell’equazione (III)
\[
\begin{gather}
F_{\small A}-P=\frac{P}{g}a \\[5pt]
a=(F_{\small A}-P)\frac{g}{P} \\[5pt]
a=(980-600)\times\frac{9,8}{600} \\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a=6,21\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Osservazione: Il problema ci dice di considerare costante la forza di Archimede dell’aria, ciò
significa che possiamo applicare la Seconda Legge di Newton con accelerazione costante. In una situazione
reale, la densità dell’aria diminuisce con l’altezza, quindi anche la forza di Archimede diminuisce e non è costante.
Quando utilizziamo la Seconda Legge di Newton con una forza variabile, l’accelerazione non è più costante.
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