Ein Wasserstoffballon mit einer Gewichtskraft von 600 N ist an einem Seil befestigt und befindet sich im statischen
Gleichgewicht in vertikaler Richtung. Sein Volumen beträgt 80 m3 und die Dichte der Luft beträgt
1,25 kg/m3. Bestimmen Sie:
a) Die Auftriebskraft aufgrund der Luft auf den Ballon;
b) Die Zugkraft im Seil, das den Ballon hält;
c) Die Beschleunigung, die der Ballon erhält, wenn das Seil reißt.
Betrachten Sie die Auftriebskraft der Luft als konstant..
Gegebene Daten:
- Gewichtskraft des Ballons: P = 600 N;
- Volumen des Ballons: Vb = 80 m3;
- Dichte der Luft: dl = 1,25 kg/m3;
- Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s2.
Schema des Problems:
Auf den Ballon wirken die Gewichtskraft,
\( {\vec F}_g \),
die Auftriebskraft aufgrund der Luft,
\( {\vec F}_{\small A} \),
und die Zugkraft des Seils,
\( \vec T \),
das den Ballon hält (Abbildung 1).
Lösung:
a) Die Auftriebskraft ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{F_{\small A}=m_{\small F}g} \tag{I}
\end{gather}
\]
wobei mF die Masse der vom Körper verdrängten Flüssigkeit ist, in diesem Fall die Luft,
ml.
Die Dichte ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\rho=\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
wobei das Volumen V des Körpers gleich dem vom Ballon verdrängten Luftvolumen, Vb, ist und
ρ die Dichte der Luft, ρl, ist.
\[
\begin{gather}
m_l=d_lV_b \tag{II}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichung (II) in die Gleichung (I)
\[
\begin{gather}
F_{\small A}=d_lV_b g \\[5pt]
F_{\small A}=1,25\times 80\times 9,8
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{F_{\small A}=980\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
b) Da sich der Ballon im statischen Gleichgewicht befindet, ist die Resultierende der auf den Ballon wirkenden
Kräfte gleich null.
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\sum F=0}
\end{gather}
\]
Wir wählen ein Bezugssystem, das nach oben orientiert ist (Abbildung 2). Die Resultierende der Kräfte ist dann
\[
\begin{gather}
F_{\small A}-F_g-T=0 \\[5pt]
T=F_{\small A}-F_g \\[5pt]
T=980-600
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{T=380\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
c) Wenn das Seil reißt, verschwindet die Zugkraft, und der Ballon bewegt sich unter der Wirkung der
Resultierenden aus der Gewichtskraft und der Auftriebskraft (Abbildung 3). Wir wählen ein nach oben orientiertes
Bezugssystem und wenden das
2. Newtonsche Gesetz an.
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{\small A}-F_g=ma \tag{III}
\end{gather}
\]
Die Gewichtskraft des Ballons ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{F_g=mg}
\end{gather}
\]
Die Masse des Ballons ist
\[
\begin{gather}
m=\frac{F_g}{g} \tag{IV}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichung (IV) in die Gleichung (III)
\[
\begin{gather}
F_{\small A}-F_g=\frac{F_g}{g}a \\[5pt]
a=(F_{\small A}-F_g)\frac{g}{F_g} \\[5pt]
a=(980-600)\times\frac{9,8}{600} \\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a=6,21\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Anmerkung: Das Problem fordert uns auf, die Auftriebskraft der Luft als konstant zu betrachten.
Das bedeutet, dass wir das 2. Newtonsche Gesetz mit konstanter Beschleunigung anwenden können. In einer
realen Situation nimmt die Dichte der Luft mit der Höhe ab, sodass auch die Auftriebskraft abnimmt und nicht
konstant ist. Wenn wir das 2. Newtonsche Gesetz mit einer veränderlichen Kraft anwenden, ist die
Beschleunigung nicht mehr konstant.
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