Exercício Resolvido de Mecânica - Mecânica dos Fluidos
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Um balão de hidrogênio de peso igual a 600 N está preso a uma corda em equilíbrio estático vertical. Seu volume é igual a 80 m3 e a densidade do ar igual a 1,25 kg/m3. Determine:
a) A força de empuxo devido ao ar no balão;
b) A força de tração na corda que sustenta o balão;
c) A aceleração adquirida pelo balão, quando a corda se rompe.
Considere constante o empuxo do ar.


Dados do problema:
  • Força peso do balão:    P = 600 N;
  • Volume do balão:    Vb = 80 m3;
  • Densidade do ar:    dar = 1,25 kg/m3;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

No balão atuam a força peso, \( \vec P \), a força empuxo devido ao ar, \( \vec E \), e a força de tensão da corda, \( \vec T \), que prende o balão (Figura 1).
Figura 1

Solução

a) A força de empuxo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{\small L} g} \tag{I} \end{gather} \]
onde mL é a massa de líquido deslocado pelo corpo, neste caso o ar, mar.
A densidade é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \end{gather} \]
com o volume, V, do corpo igual ao volume de ar deslocado pelo balão, Vb, e d é a densidade do ar, dar
\[ \begin{gather} m_{ar}=d_{ar}V_b \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[ \begin{gather} E=d_{ar}V_b g\\[5pt] E=1,25\times 80\times 9,8 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=980\;\mathrm N} \end{gather} \]

b) Como o balão está em equilíbrio estático a resultante das forças que atuam no balão é igual a zero
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum F=0} \end{gather} \]
Adotando um referencial apontado para cima (Figura 2), a resultante das forças será
\[ \begin{gather} E-P-T=0\\[5pt] T=E-P\\[5pt] T=980-600 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T=380\;\mathrm N} \end{gather} \]
Figura 2

c) Quando a corda se rompe a força de tração deixa de existir e o balão se move sob a ação da força resultante entre a força peso e a força de empuxo (Figura 3). Adotando um sistema de referência orientado para cima e aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} E-P=ma \tag{III} \end{gather} \]
A força peso do balão é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
Figura 3

a massa do balão será
\[ \begin{gather} m=\frac{P}{g} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[ \begin{gather} E-P=\frac{P}{g}a\\[5pt] a=(E-P)\frac{g}{P}\\[5pt] a=(980-600)\times\frac{9,8}{600}\\[5pt] \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=6,21\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Observação: o problema nos diz para considerar o empuxo do ar constante, isto quer dizer que podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton com aceleração constante. Em uma situação real a densidade do ar diminui com a altura, assim a força de empuxo também diminui, e não é constante. Quando usamos a 2.ª Lei de Newton com uma força variável e a aceleração não é mais constante.
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