Um balão de hidrogênio de peso igual a 600 N está preso a uma corda em equilíbrio estático vertical. Seu
volume é igual a 80 m3 e a densidade do ar igual a 1,25 kg/m3. Determine:
a) A força de empuxo devido ao ar no balão;
b) A força de tração na corda que sustenta o balão;
c) A aceleração adquirida pelo balão, quando a corda se rompe.
Considere constante o empuxo do ar.
Dados do problema:
- Força peso do balão: P = 600 N;
- Volume do balão: Vb = 80 m3;
- Densidade do ar: dar = 1,25 kg/m3;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
No balão atuam a força peso,
\( \vec P \),
a força empuxo devido ao ar,
\( \vec E \),
e a força de tensão da corda,
\( \vec T \),
que prende o balão (Figura 1).
Solução:
a) A força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=m_{\small L}g} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde mL é a massa de líquido deslocado pelo corpo, neste caso o ar,
mar.
A densidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
com o volume, V, do corpo igual ao volume de ar deslocado pelo balão, Vb, e
d é a densidade do ar, dar
\[
\begin{gather}
m_{ar}=d_{ar}V_b \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[
\begin{gather}
E=d_{ar}V_b g \\[5pt]
E=1,25\times 80\times 9,8
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=980\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
b) Como o balão está em equilíbrio estático a resultante das forças que atuam no balão é igual a zero
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum F=0}
\end{gather}
\]
Adotando um referencial apontado para cima (Figura 2), a resultante das forças será
\[
\begin{gather}
E-P-T=0 \\[5pt]
T=E-P \\[5pt]
T=980-600
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T=380\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
c) Quando a corda se rompe a força de tração deixa de existir e o balão se move sob a ação da força
resultante entre a força peso e a força de empuxo (Figura 3). Adotando um sistema de referência
orientado para cima e aplicando a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E-P=ma \tag{III}
\end{gather}
\]
A força peso do balão é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
a massa do balão será
\[
\begin{gather}
m=\frac{P}{g} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
E-P=\frac{P}{g}a \\[5pt]
a=(E-P)\frac{g}{P} \\[5pt]
a=(980-600)\times\frac{9,8}{600} \\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=6,21\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Observação: O problema nos diz para considerar o empuxo do ar constante, isto quer dizer
que podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton com aceleração constante. Em uma situação real a
densidade do ar diminui com a altura, assim a força de empuxo também diminui, e não é constante. Quando
usamos a 2.ª Lei de Newton com uma força variável e a aceleração não é mais constante.
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