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FISICAEXE
Esercizio Risolto di Meccanica dei Fluidi
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Un recipiente cilindrico contiene mercurio fino a un’altezza di 10 cm e poi acqua fino all’altezza di 80 cm, misurate a partire dalla base. Le masse specifiche del mercurio e dell’acqua sono, rispettivamente, 13,6 g/cm3 e 1 g/cm3. Determinare la pressione sul fondo del recipiente.

Dati del problema:

  • Densità del mercurio: ρm = 13,6 g/cm3;
  • Altezza della colonna di mercurio: hm = 10 cm;
  • Densità dell’acqua: ρa = 1 g/cm3;
  • Altezza dell’acqua a partire dalla base: h = 80 cm;
  • Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s2.

Schema del problema:

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire le densità dell’acqua e del mercurio, date in grammi per centimetro cubo (g/cm3), in chilogrammi per metro cubo (kg/m3) e le altezze date in centimetri (cm) in metri (m), usati nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI).

\[ \begin{gather} \rho_m=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel g}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}=13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \\[10pt] \rho_a=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}=1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \\[10pt] h_m=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m \\[10pt] h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m \end{gather} \]

La pressione della colonna di liquido, pc, è data dalla Legge di Stevino

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {p_c=\rho gh} \tag{I} \end{gather} \]

Per il mercurio pm

\[ \begin{gather} p_m=\rho_m g h_m \\[5pt] p_m=13600\times 9,8\times 0,1 \\[5pt] p_m=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II} \end{gather} \]

L’altezza della colonna d’acqua, ha, sarà la differenza tra l’altezza misurata a partire dalla base e l’altezza della colonna di mercurio

\[ \begin{gather} h_a=h-h_m \tag{III} \end{gather} \]

Applicando l’equazione (I), abbiamo la pressione della colonna d’acqua pa

\[ \begin{gather} p_a=\rho_a g h_a \tag{IV} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (III) nell’equazione (IV)

\[ \begin{gather} p_a=\rho_a g\;(h-h_m) \\[5pt] p_a=1000\times 9,8\times(0,8-0,1) \\[5pt] p_a=9800\times 0,7 \\[5pt] p_a=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V} \end{gather} \]

La pressione totale sul fondo del recipiente è data dalla somma delle equazioni (II) e (V)

\[ \begin{gather} p=p_m+p_a \\[5pt] p=13328+6860 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {p=20188\;\mathrm{Pa}} \end{gather} \]
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