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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur Mechanik der Flüssigkeiten
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Ein zylindrisches Gefäß enthält Quecksilber bis zu einer Höhe von 10 cm und darüber Wasser bis zu einer Höhe von 80 cm, gemessen von der Grundfläche aus. Die Dichten von Quecksilber und Wasser betragen 13,6 g/cm3 bzw. 1 g/cm3. Bestimmen Sie den Druck am Boden des Gefäßes.

Gegebene Daten:

  • Dichte des Quecksilbers: ρg = 13,6 g/cm3;
  • Höhe der Quecksilbersäule: hg = 10 cm;
  • Dichte des Wassers: ρw = 1 g/cm3;
  • Höhe des Wassers von der Grundfläche aus: h = 80 cm;
  • Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s2.

Schema des Problems:

Abb. 1

Lösung

Zuerst müssen wir die Dichten des Wassers und des Quecksilbers, die in Gramm pro Kubikzentimeter (g/cm3) angegeben sind, in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m3) und die in Zentimetern (cm) angegebenen Höhen in Meter (m) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} \rho_g=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel g}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}=13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \\[10pt] \rho_w=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}=1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \\[10pt] h_g=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m \\[10pt] h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m \end{gather} \]

Der Druck der Flüssigkeitssäule, pk, ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {p_k=\rho gh} \tag{I} \end{gather} \]

Für das Quecksilber pg

\[ \begin{gather} p_g=\rho_g g h_g \\[5pt] p_g=13600\times 9,8\times 0,1 \\[5pt] p_g=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II} \end{gather} \]

Die Höhe der Wassersäule, hw, ist die Differenz zwischen der von der Grundfläche aus gemessenen Höhe und der Höhe der Quecksilbersäule.

\[ \begin{gather} h_w=h-h_g \tag{III} \end{gather} \]

Durch Anwendung der Gleichung (I) erhalten wir den Druck der Wassersäule pa

\[ \begin{gather} p_w=\rho_w g h_w \tag{IV} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (III) in die Gleichung (IV)

\[ \begin{gather} p_w=\rho_w g\;(h-h_g) \\[5pt] p_w=1000\times 9,8\times(0,8-0,1) \\[5pt] p_w=9800\times 0,7 \\[5pt] p_w=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V} \end{gather} \]

Der Gesamtdruck am Boden des Gefäßes ist durch die Summe der Gleichungen (II) und (V) gegeben.

\[ \begin{gather} p=p_g+p_w \\[5pt] p=13328+6860 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {p=20188\;\mathrm{Pa}} \end{gather} \]
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