Un recipiente cilíndrico contiene mercurio hasta una altura de 10 cm y luego agua hasta una altura de 80 cm,
medidas desde la base. Las masas específicas del mercurio y del agua son, respectivamente,
13,6 g/cm3 y 1 g/cm3. Determine la presión en el fondo del recipiente.
Datos del problema:
- Densidade del mercurio: ρm = 13,6 g/cm3;
- Altura de la columna de mercurio: hm = 10 cm;
- Densidad del agua: ρa = 1 g/cm3;
- Altura del agua desde la base: h = 80 cm;
- Aceleración local de la gravedad: g = 9,8 m/s2.
Esquema del problema:
Solución:
En primer lugar, debemos convertir las densidades del agua y del mercurio, dadas en gramos por centímetro cúbico
(g/cm3) a kilogramos por metro cúbico (kg/m3), y las alturas dadas en centímetros (cm) a
metros (m), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[
\begin{align}
\rho_m=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}
=13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_a=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}
=1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
h_m=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m
\end{gather}
\]
La presión de la columna de líquido, pc, está dada por la Ley de Stevin
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{p_c=\rho gh} \tag{I}
\end{gather}
\]
Para el mercurio, pm
\[
\begin{gather}
p_m=\rho_m g h_m\\[5pt]
p_m=13600\times 9,8\times 0,1 \\[5pt]
p_m=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II}
\end{gather}
\]
La altura de la columna de agua, ha, será la diferencia entre la altura medida desde la base y
la altura de la columna de mercurio
\[
\begin{gather}
h_{a}=h-h_{m} \tag{III}
\end{gather}
\]
Aplicando la ecuación (I), obtenemos la presión de la columna de agua, pa
\[
\begin{gather}
p_a=\rho_a g h_a \tag{IV}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (III) en la ecuación (IV)
\[
\begin{gather}
p_a=\rho_a g\;(h-h_m) \\[5pt]
p_a=1000\times 9,8\times(0,8-0,1) \\[5pt]
p_a=9800\times 0,7 \\[5pt]
p_a=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V}
\end{gather}
\]
La presión total en el fondo del recipiente está dada por la suma de las ecuaciones (II) y (V)
\[
\begin{gather}
p=p_m+p_a\\[5pt]
p=13328+6860
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{p=20188\;\mathrm{Pa}}
\end{gather}
\]
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