Esercizio Risolto di Lavoro ed Energia
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Un peso di 10 N viene sollevato, a partire dal riposo, da una forza di 30 N fino a un’altezza di 5 m. Determinare:
a) Il lavoro della forza applicata per sollevare il peso fino all’altezza data;
b) Il lavoro della forza peso;
c) La velocità del corpo nel raggiungere l’altezza data.

 

Dati del problema:

  • Peso del corpo:    P = 10 N;
  • Forza applicata al corpo:    F = 30 N;
  • Altezza fino a cui il corpo è sollevato:    h = 5 m;
  • Velocità iniziale del corpo:    v0 = 0;
  • Accelerazione di gravità:    g = 9,8 m/s2.

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento con origine al suolo e orientato verso l’alto, in questo caso l’accelerazione di gravità e la forza peso del corpo saranno negative (Figura 1).
Figura 1

Soluzione:

a) Il lavoro di una forza è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=Fd} \tag{I} \end{gather} \]

in questo caso, la forza è la forza esterna, F, che solleva il peso, e la distanza sarà l’altezza, h, alla quale il peso è stato sollevato.

\[ \begin{gather} W_{\small F}=Fh \\[5pt] W_{\small F}=30\times 5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small F}=150\;\mathrm J} \end{gather} \]

 

b) Applicando l’equazione (I) alla forza peso.

\[ \begin{gather} W_{\small P}=Ph \\[5pt] W_{\small P}=-10\times 5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small P}=-50\;\mathrm J} \end{gather} \]
Osservazione: Non esiste energia negativa, il segno negativo indica che il lavoro è stato compiuto contro il verso del campo gravitazionale. Il campo gravitazionale è diretto verso la Terra e l’oggetto si è allontanato quando è stato sollevato.

 

c) La forza risultante, FR, tra la forza esterna e la forza peso è uguale a

\[ \begin{gather} F_{\small R}=F-P \\[5pt] F_{\small R}=30-10 \\[5pt] F_{\small R}=20\;\mathrm N \end{gather} \]

la forza peso è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} m=\frac{P}{g} \\[5pt] m=\frac{-10}{-9,8} \\[5pt] m\approx1\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

Per il Teorema dell’Energia Cinetica, il lavoro di una forza è uguale alla variazione dell’energia cinetica.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=\Delta E_c=E_{c f}-E_{c i}} \tag{II} \end{gather} \]

l’energia cinetica è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{III} \end{gather} \]

sostituendo le equazioni (I) e (III) nell’equazione (II), il lavoro della forza risultante per sollevare il corpo è dato da

\[ \begin{gather} F_{\small R}h=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{m}\left[F_{\small R}h+\frac{mv_0^2}{2}\right]\;} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{1}\left[20\times 5+\frac{1\times 0^2}{2}\right]\;} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{1}\times\left[100\right]\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v\approx 14.1\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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