Exercício Resolvido de Trabalho e Energia
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Um peso de 10 N é erguido, a partir do repouso, por uma força de 30 N até uma altura de 5 m. Determine:
a) O trabalho da força aplicada para erguer o peso até a altura dada;
b) O trabalho da força peso;
c) A velocidade do corpo ao atingir a altura dada.

 

Dados do problema:

  • Peso do corpo:    P = 10 N;
  • Força aplicada ao corpo:    F = 30 N;
  • Altura até onde o corpo é erguido:    h = 5 m;
  • Velocidade inicial do corpo:    v0 = 0;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com origem no solo e orientado para cima, neste caso a aceleração da gravidade e a força peso do corpo serão negativas (Figura 1).
Figura 1

Solução:

a) O trabalho de uma força é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=Fd} \tag{I} \end{gather} \]

neste caso, a força é a força externa, F, que ergue o peso, e a distância será a altura, h, a que o peso foi erguido.

\[ \begin{gather} W_{\small F}=Fh \\[5pt] W_{\small F}=30\times 5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small F}=150\;\mathrm J} \end{gather} \]

 

b) Aplicando a equação (I) para a força peso.

\[ \begin{gather} W_{\small P}=Ph \\[5pt] W_{\small P}=-10\times 5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small P}=-50\;\mathrm J} \end{gather} \]
Observação: Não existe energia negativa, o sinal de negativo indica que o trabalho foi realizado contra o sentido do campo gravitacional. O campo gravitacional aponta para a Terra e o objeto se afastou ao ser erguido.

 

c) A força resultante, FR, entre a força externa e a força peso é igual a

\[ \begin{gather} F_{\small R}=F-P \\[5pt] F_{\small R}=30-10 \\[5pt] F_{\small R}=20\;\mathrm N \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} m=\frac{P}{g} \\[5pt] m=\frac{-10}{-9,8} \\[5pt] m\approx1\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

Pelo Teorema da Energia Cinética, o trabalho de uma força é igual à variação da energia cinética.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=\Delta E_c=E_{c f}-E_{c i}} \tag{II} \end{gather} \]

a energia cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo as equações (I) e (III) na equação (II), o trabalho da força resultante para erguer o corpo é dado por

\[ \begin{gather} F_{\small R}h=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{m}\left[F_{\small R}h+\frac{mv_0^2}{2}\right]\;} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{1}\left[20\times 5+\frac{1\times 0^2}{2}\right]\;} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{1}\times\left[100\right]\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v\approx 14.1\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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