Gelöste Übungen Arbeit und Energie

Ein Gewicht von 10 N wird aus der Ruhe durch eine Kraft von 30 N bis zu einer Höhe von 5 m angehoben. Bestimmen Sie:
a) Eie Arbeit der angewandten Kraft, um das Gewicht bis zur gegebenen Höhe zu heben;
b) Die Arbeit der Gewichtskraft;
c) die Geschwindigkeit des Körpers beim Erreichen der gegebenen Höhe.

Gegebene Daten:

Gewicht des Körpers: F_g = 10 N;
Auf den Körper ausgeübte Kraft: F = 30 N;
Höhe, bis zu der der Körper angehoben wird: h = 5 m;
Anfangsgeschwindigkeit des Körpers: v₀ = 0;
Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s².

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem mit Ursprung am Boden, das nach oben orientiert ist, in diesem Fall sind die Erdbeschleunigung und die Gewichtskraft des Körpers negativ (Abbildung 1).

Abb. 1

Lösung:

a) Die Arbeit einer Kraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=Fd} \tag{I} \end{gather} \]

in diesem Fall ist die Kraft die äußere Kraft F, die das Gewicht hebt, und die Strecke ist die Höhe h, auf die das Gewicht angehoben wurde.

\[ \begin{gather} W_{\small F}=Fh \\[5pt] W_{\small F}=30\times 5 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small F}=150\;\mathrm J} \end{gather} \]

b) Anwendung der Gleichung (I) auf die Gewichtskraft.

\[ \begin{gather} W_{\small F_g}=F_gh \\[5pt] W_{\small F_g}=-10\times 5 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small F_g}=-50\;\mathrm J} \end{gather} \]

Anmerkung: Es gibt keine negative Energie, das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Arbeit gegen die Richtung des Gravitationsfeldes verrichtet wurde. Das Gravitationsfeld zeigt zur Erde, und das Objekt entfernt sich beim Anheben.

c) Die resultierende Kraft F_R zwischen der äußeren Kraft und der Gewichtskraft ist gleich

\[ \begin{gather} F_{\small R}=F-F_g \\[5pt] F_{\small R}=30-10 \\[5pt] F_{\small R}=20\;\mathrm N \end{gather} \]

die Gewichtskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_g=mg} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} m=\frac{F_g}{g} \\[5pt] m=\frac{-10}{-9,8} \\[5pt] m\approx1\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

Nach dem Energiesatz ist die Arbeit einer Kraft gleich der Änderung der kinetischen Energie.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=\Delta E_c=E_{c f}-E_{c i}} \tag{II} \end{gather} \]

die kinetische Energie ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{III} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichungen (I) und (III) in die Gleichung (II) ist die Arbeit der resultierenden Kraft zum Anheben des Körpers gegeben durch

\[ \begin{gather} F_{\small R}h=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{m}\left[F_{\small R}h+\frac{mv_0^2}{2}\right]\;} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{1}\left[20\times 5+\frac{1\times 0^2}{2}\right]\;} \\[5pt] v=\sqrt{\frac{2}{1}\times\left[100\right]\;} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v\approx 14.1\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

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