Esercizio Risolto di Lavoro ed Energia

Un’auto di massa 3000 kg accelera sotto l’azione di una forza costante da una velocità iniziale di 18 km/h fino a 72 km/h. Determinare:
a) Le energie cinetiche iniziale e finale dell’auto;
b) Qual è il lavoro della forza tra gli istanti iniziale e finale?
c) Qual è la forza esercitata per accelerare l’auto su un percorso di 500 m?

Dati del problema:

Massa dell’auto: m = 3000 kg;
Velocità iniziale dell’auto: v₀ = 18 km/h;
Velocità finale dell’auto: v = 72 km/h.

Schema del problema:

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire le velocità date in chilometri orari (km/h) in metri al secondo (m/s) usati nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI).

\[ \begin{gather} v_0=18\;\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=5\;\mathrm{m/s} \\[10pt] v=72\;\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\mathrm{\cancel{h}}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=20\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

a) L’energia cinetica è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]

Per la velocità iniziale, l’energia cinetica iniziale sarà

\[ \begin{gather} E_{c i}=\frac{mv_0^2}{2} \\[5pt] E_{c i}=\frac{3000\times 5^2}{2} \\[5pt] E_{c i}=\frac{3000\times 25}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{c i}=37500\;\mathrm J=3,75\times 10^{4}\;\mathrm J} \end{gather} \]

Per la velocità finale, l’energia cinetica finale sarà

\[ \begin{gather} E_{c f}=\frac{mv^2}{2} \\[5pt] E_{c f}=\frac{3000\times 20^2}{2} \\[5pt] E_{c f}=\frac{3000\times 400}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{c f}=600000\;\mathrm J=6\times 10^5\;\mathrm J} \end{gather} \]

b) Per il Teorema dell’Energia Cinetica, il lavoro compiuto dalla forza sarà uguale alla variazione dell’energia cinetica tra i due punti

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=\Delta E_c=E_{c f}-E_{c i}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} W_{\small F}=(60-3,75)\times10^4 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small F}=5,6\times 10^5\;\mathrm J} \end{gather} \]

c) Per la forza media esercitata dal motore durante l’accelerazione

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=Fd} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} F=\frac{W_{\small F}}{d} \\[5pt] F=\frac{56,25\times 10^4}{500} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=1125\;\mathrm N} \end{gather} \]

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