Ejercicio Resuelto sobre Trabajo y Energía
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Un coche con una masa de 3000 kg acelera bajo la acción de una fuerza constante desde una velocidad inicial de 18 km/h hasta 72 km/h. Determine:
a) Las energías cinéticas inicial y final del coche;
b) ¿Cuál es el trabajo de la fuerza entre los instantes inicial y final?
c) ¿Cuál es la fuerza ejercida para acelerar el coche en un recorrido de 500 m?
Datos del problema:
- Masa del coche: m = 3000 kg;
- Velocidad inicial del coche: v0 = 18 km/h;
- Velocidad final del coche: v = 72 km/h.
Solución
Primero debemos convertir las velocidades dadas en kilómetros por hora (km/h) a metros por segundo (m/s), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[
\begin{gather}
v_0=18\;\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=5\;\mathrm{m/s}\\[10pt]
v=72\;\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\mathrm{\cancel{h}}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=20\;\mathrm{m/s}
\end{gather}
\]
a) La energía cinética se da por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}}
\end{gather}
\]
Para la velocidad inicial, la energía cinética inicial será
\[
\begin{gather}
E_{c i}=\frac{mv_0^2}{2}\\[5pt]
E_{c i}=\frac{3000\times 5^2}{2}\\[5pt]
E_{c i}=\frac{3000\times 25}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{c i}=37500\;\mathrm J=3,75\times 10^{4}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
Para la velocidad final, la energía cinética final será
\[
\begin{gather}
E_{c f}=\frac{mv^2}{2}\\[5pt]
E_{c f}=\frac{3000\times 20^2}{2}\\[5pt]
E_{c f}=\frac{3000\times 400}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{c f}=600000\;\mathrm J=6\times 10^{5}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
b) Según el Teorema del Trabajo y la Energía, el trabajo realizado por la fuerza será igual a la variación de la energía cinética entre los dos puntos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W_{\small F}=\Delta E_c=E_{c f}-E_{c i}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
W_{\small F}=(60-3,75)\times10^4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{W_{\small F}=5,6\times 10^5\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
c) Para la fuerza media ejercida por el motor durante la aceleración
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W_{\small F}=Fd}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F=\frac{W_{\small F}}{d}\\[5pt]
F=\frac{56,25\times 10^4}{500}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F=1125\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
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