Esercizio Risolto di Lavoro ed Energia
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Un uomo di massa 75 kg sale una scala con 15 gradini in 10 s. Ogni gradino ha un’altezza di 20 cm e una lunghezza di 30 cm. Determinare:
a) Il lavoro della forza peso dell’uomo nel salire la scala;
b) La potenza sviluppata dall’uomo.

 

Dati del problema:

  • Massa dell’uomo:    m = 75 kg;
  • Tempo di salita della scala:    t = 10 s;
  • Numero di gradini della scala:    n = 15 escalones;
  • Lunghezza di ogni gradino:    d = 30 cm;
  • Altezza di ogni gradino:    h = 20 cm.

Schema del problema:

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire la lunghezza e l’altezza dei gradini dati in centimetri (cm) in metri (m) per quelli usati nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI).

\[ \begin{gather} d=30\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,3\;\mathrm m \\[10pt] h=20\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,2\;\mathrm m \end{gather} \]

a) Per il calcolo del lavoro della forza peso è sufficiente conoscere la differenza di altezza tra i punti iniziale e finale dell’uomo (spostamento verticale); per questo basta moltiplicare il numero di gradini per l’altezza di ciascun gradino

\[ \begin{gather} H=n\;h\\[5pt] H=15\times 0,2\\[5pt] H=3\;\mathrm m \tag{I} \end{gather} \]

La forza peso dell’uomo è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=m g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P=75\times 9,8\\[5pt] P=735\;\mathrm N \tag{II} \end{gather} \]

Il lavoro di una forza è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=F d} \end{gather} \]

dove la forza sarà la forza peso dell’uomo, P, e la distanza sarà l’altezza da lui percorsa, H

\[ \begin{gather} W_{\small P}=PH\\[5pt] W_{\small P}=735\times 3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small P}=2205\;\mathrm J} \end{gather} \]
Osservazione: La lunghezza dei gradini non è rilevante per il calcolo del lavoro della forza peso, poiché lo spostamento orizzontale è perpendicolare alla forza peso. Solo la forza nella direzione dello spostamento compie lavoro.

 

b) La potenza media è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P}_{med}=\frac{W_{\small P}}{\Delta t}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathscr{P}_{med}=\frac{2205}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathscr{P}_{med}=220,5\;\mathrm W} \end{gather} \]
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