Gelöste Übungen zu Arbeit und Energie

Ein Mann mit einer Masse von 75 kg steigt in 10 s eine Treppe mit 15 Stufen hinauf. Jede Stufe hat eine Höhe von 20 cm und eine Länge von 30 cm. Bestimmen Sie:
a) Die Arbeit der Gewichtskraft des Mannes beim Hinaufsteigen der Treppe;
b) Die vom Mann entwickelte Leistung.

Gegebene Daten:

Masse des Mannes: m = 75 kg;
Zeit für das Hinaufsteigen der Treppe: t = 10 s;
Anzahl der Stufen: n = 15 degraus;
Länge jeder Stufe: d = 30 cm;
Höhe jeder Stufe: h = 20 cm.

Schema des Problems:

Abb. 1

Lösung:

Zuerst müssen wir die im Problem angegebenen Längen- und Höhenwerte der Stufen von Zentimetern (cm) in Meter (m) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} d=30\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,3\;\mathrm m \\[10pt] h=20\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,2\;\mathrm m \end{gather} \]

a) Für die Berechnung der Arbeit der Gewichtskraft genügt es, den Höhenunterschied zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt des Mannes (vertikale Verschiebung) zu bestimmen. Dazu multiplizieren wir die Anzahl der Stufen mit der Höhe jeder Stufe

\[ \begin{gather} H=n\;h \\[5pt] H=15\times 0,2 \\[5pt] H=3\;\mathrm m \tag{I} \end{gather} \]

Die Gewichtskraft des Mannes ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_g=m g} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} F_g=75\times 9,8 \\[5pt] F_g=735\;\mathrm N \tag{II} \end{gather} \]

Die Arbeit einer Kraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=F d} \end{gather} \]

wobei die Kraft die Gewichtskraft des Mannes F_g ist und die Strecke die Höhe H ist, die er zurückgelegt hat

\[ \begin{gather} W_{\small{F_g}}=F_g H \\[5pt] W_{\small{F_g}}=735\times 3 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small{F_g}}=2205\;\mathrm J} \end{gather} \]

Anmerkung: Die Länge der Stufen spielt für die Berechnung der Arbeit der Gewichtskraft keine Rolle, da die horizontale Verschiebung senkrecht zur Gewichtskraft ist. Nur die Kraft in Richtung der Verschiebung verrichtet Arbeit.

b) Die mittlere Leistung wird durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr P_{mit}=\frac{W_{\small P}}{\Delta t}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \mathscr P_{mit}=\frac{2205}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathscr P_{mit}=220,5\;\mathrm W} \end{gather} \]

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