Exercice Résolu sur les Travail et Energie
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Un homme de masse 75 kg monte un escalier de 15 marches en 10 s. Chaque marche a une hauteur de 20 cm et une longueur de 30 cm. Déterminer:
a) Le travail de la force poids de l'homme en montant l'escalier;
b) La puissance développée par l'homme.


Données du problème:
  • Masse de l'homme:    m = 75 kg;
  • Temps de montée de l'escalier:    t = 10 s;
  • Nombre de marches de l'escalier:    n = 15 marches;
  • Longueur de chaque marche:    d = 30 cm;
  • Hauteur de chaque marche:    h = 20 cm.
Schéma du problème
Figure 1

Solution

Premièrement, nous devons convertir la longueur et la hauteur des marches données en centimètres (cm) en mètres (m) utilisés dans le Système International d'Unités (SI).
\[ \begin{gather} d=30\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,3\;\mathrm m \\[10pt] h=20\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,2\;\mathrm m \end{gather} \]
a) Pour calculer le travail du poids, il suffit de connaître la différence de hauteur entre les points initial et final de l'homme (déplacement vertical), pour cela, il suffit de multiplier le nombre de marches par la hauteur de chaque marche
\[ \begin{gather} H=n\;h\\[5pt] H=15\times 0,2\\[5pt] H=3\;\mathrm m \tag{I} \end{gather} \]
Le poids de l'homme est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=m g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P=75\times 9,8\\[5pt] P=735\;\mathrm N \tag{II} \end{gather} \]
Le travail d'une force est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=F d} \end{gather} \]
où la force sera le poids de l'homme, P, et la distance sera la hauteur qu'il a montée, H
\[ \begin{gather} W_{\small P}=PH\\[5pt] W_{\small P}=735\times 3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small P}=2205\;\mathrm J} \end{gather} \]

Remarque: la longueur des marches n'importe pas pour le calcul du travail du poids, le déplacement horizontal est perpendiculaire au poids, seule la force dans la direction du déplacement effectue un travail.


b) La puissance moyenne sera
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P}_{med}=\frac{W_{\small P}}{\Delta t}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathscr{P}_{med}=\frac{2205}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathscr{P}_{med}=220,5\;\mathrm W} \end{gather} \]
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