Exercício Resolvido de Trabalho e Energia
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Um homem de massa 75 kg sobe uma escada com 15 degraus em 10 s. Cada degrau possui 20 cm de altura e 30 cm de comprimento. Determine:
a) O trabalho da força peso do homem ao subir a escada;
b) A potência desenvolvida pelo do homem.

 

Dados do problema:

  • Massa do homem:    m = 75 kg;
  • Tempo de subida da escada:    t = 10 s;
  • Número de degraus da escada:    n = 15 degraus;
  • Comprimento de cada degrau:    d = 30 cm;
  • Altura de cada degrau:    h = 20 cm.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter o comprimento e a altura dos degraus dados em centímetros (cm) para metros (m) usados no Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

\[ \begin{gather} d=30\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,3\;\mathrm m \\[10pt] h=20\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,2\;\mathrm m \end{gather} \]

a) Para o cálculo do trabalho da força peso basta saber a diferença de altura entre os pontos inicial e final do homem (deslocamento vertical), para isto é só multiplicar o número de degraus pela altura de cada degrau

\[ \begin{gather} H=n\;h \\[5pt] H=15\times 0,2 \\[5pt] H=3\;\mathrm m \tag{I} \end{gather} \]

O peso do homem é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=m g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P=75\times 9,8 \\[5pt] P=735\;\mathrm N \tag{II} \end{gather} \]

O trabalho de uma força é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=F d} \end{gather} \]

onde a força será a força peso do homem, P, e a distância será a altura que ele subiu, H

\[ \begin{gather} W_{\small P}=PH \\[5pt] W_{\small P}=735\times 3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small P}=2205\;\mathrm J} \end{gather} \]
Observação: O comprimento dos degraus não importa para o cálculo do trabalho da força peso, o deslocamento horizontal é perpendicular à força peso, apenas a força na direção do deslocamento realiza trabalho.

 

b) A potência média é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr P_{med}=\frac{W_{\small P}}{\Delta t}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathscr P_{med}=\frac{2205}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathscr P_{med}=220,5\;\mathrm W} \end{gather} \]
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