Ejercicio Resuelto sobre Trabajo y Energía
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Un hombre con una masa de 75 kg sube una escalera con 15 peldaños en 10 s. Cada peldaño tiene una altura de 20 cm y una longitud de 30 cm. Determine:
a) El trabajo de la fuerza peso del hombre al subir la escalera;
b) La potencia desarrollada por el hombre.


Datos del problema:

  • Masa del hombre:    m = 75 kg;
  • Tiempo de subida de la escalera:    t = 10 s;
  • Número de escalones de la escalera:    n = 15 escalones;
  • Longitud de cada escalón:    d = 30 cm;
  • Altura de cada escalón:    h = 20 cm.
Esquema del problema:
Figura 1

Solución

En primer lugar, debemos convertir la longitud y la altura de los escalones proporcionados de centímetros (cm) a metros (m), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI).
\[ \begin{gather} d=30\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,3\;\mathrm m \\[10pt] h=20\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\:\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,2\;\mathrm m \end{gather} \]
a) Para calcular el trabajo de la fuerza peso, basta con conocer la diferencia de altura entre los puntos inicial y final del hombre (desplazamiento vertical). Para ello, solo es necesario multiplicar el número de escalones por la altura de cada escalón
\[ \begin{gather} H=n\;h\\[5pt] H=15\times 0,2\\[5pt] H=3\;\mathrm m \tag{I} \end{gather} \]
El peso del hombre es dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=m g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P=75\times 9,8\\[5pt] P=735\;\mathrm N \tag{II} \end{gather} \]
El trabajo de una fuerza se calcula como
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=F d} \end{gather} \]
donde la fuerza será el peso del hombre, P, y la distancia será la altura que él subió, H
\[ \begin{gather} W_{\small P}=PH\\[5pt] W_{\small P}=735\times 3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\small P}=2205\;\mathrm J} \end{gather} \]

Observación: la longitud de los escalones no importa para el cálculo del trabajo de la fuerza peso, el desplazamiento horizontal es perpendicular a la fuerza peso, solo la fuerza en la dirección del desplazamiento realiza trabajo.


b) La potencia media será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P}_{med}=\frac{W_{\small P}}{\Delta t}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathscr{P}_{med}=\frac{2205}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathscr{P}_{med}=220,5\;\mathrm W} \end{gather} \]
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