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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zu Impuls und Stöße
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Von der Spitze eines 100 m hohen Gebäudes wird ein Ziegelstein mit einer Masse von 900 g aus der Ruhe fallen gelassen. Dabei wirkt auf ihn die Gewichtskraft. Berechnen Sie:
a) Die Geschwindigkeit des Ziegelsteins beim Auftreffen auf den Boden;
b) Den Impuls des Ziegelsteins beim Auftreffen auf den Boden;
c) Den Impuls der auf den Ziegelstein wirkenden Kraft während des Falls.

Gegebene Daten:

  • Fallhöhe: S = 100 m;
  • Masse des Ziegelsteins: m = 900 g;
  • Anfangsgeschwindigkeit des Ziegelsteins: v0 = 0;
  • Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s2.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem, das nach unten orientiert ist und seinen Ursprung an der Spitze des Gebäudes hat. Da der Ziegelstein aus der Ruhe startet, ist seine Anfangsgeschwindigkeit null, v0 = 0, seine Anfangsposition ist ebenfalls null, S0 = 0, und die Erdbeschleunigung zeigt in dieselbe Richtung wie das Bezugssystem (Abbildung 1).
Abb. 1

Lösung:

Zuerst müssen wir die im Problem angegebene Masse des Ziegelsteins von Gramm (g) in Kilogramm (kg) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} m=900\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=0,9\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

a) Beim Fallen befindet sich der Ziegelstein unter der Wirkung der Erdbeschleunigung im freien Fall. Unter Verwendung der Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion des Zurückgelegten Weges

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

ist die Beschleunigung der Bewegung gleich der Erdbeschleunigung selbst, a = g, und durch Einsetzen der Werte

\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2g(S-S_0) \\[5pt] v^2=0^2+2\times 9,8\times(100-0) \\[5pt] v^2=0+1960 \\[5pt] v=\sqrt{1960\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v\approx 44,3\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Der Impuls ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \tag{I} \end{gather} \]

durch Einsetzen der für den Ziegelstein gegebenen Masse und der im vorherigen Punkt berechneten Geschwindigkeit

\[ \begin{gather} Q=0,9\times 44,3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=39,9\;\mathrm{kg.m/s}} \end{gather} \]

c) Nach dem Impulserhaltungssatz

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {I=\Delta Q=Q_f-Q_i} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (I) für den Anfangsimpuls und den Endimpuls des Ziegelsteins

\[ \begin{gather} I=mv_f-mv_i \end{gather} \]

wobei die Endgeschwindigkeit vf = v im Punkt (a) berechnet wurde und die Anfangsgeschwindigkeit vi = v0 = 0 ist.

\[ \begin{gather} I=mv-mv_0 \\[5pt] I=0,9\times 44,3-0,9\times 0 \\[5pt] I=40,2-0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {I=39,9\;\mathrm{N.s}} \end{gather} \]
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