Exercício Resolvido de Mecânica dos Fluidos
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Um vaso cilíndrico contém mercúrio até 10 cm de altura e depois água até a altura de 80 cm, medidos a partir da base. As massas específicas do mercúrio e da água são, respectivamente, 13,6 g/cm3 e 1 g/cm3. Determine a pressão no fundo do vaso.


Dados do problema:
  • Massa específica do mercúrio:    μm = 13,6 g/cm3;
  • Altura da coluna de mercúrio:    hm = 10 cm;
  • Massa específica da água:    μa = 1 g/cm3;
  • Altura da água a partir da base:    h = 80 cm;
  • Aceleração local da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter as densidades da água e do mercúrio, dadas em gramas por centímetro cúbico (g/cm3) para quilogramas por metro cúbico (kg/m3) e as alturas dadas em centímetros (cm) para metros (m) usadas no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[ \begin{align} \mu_m=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}} =13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \end{align} \]
\[ \begin{gather} \mu_a=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}} =1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} h_m=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m \end{gather} \]
\[ \begin{gather} h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m \end{gather} \]
A pressão da coluna de líquido, pc, é dada pela Lei de Stevin
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p_c=\mu gh} \tag{I} \end{gather} \]
Para o mercúrio pm
\[ \begin{gather} p_m=\mu_m g h_m\\[5pt] p_m=13600\times 9,8\times 0,1\\[5pt] p_m=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II} \end{gather} \]
A altura da coluna de água, ha, será a diferença entre a altura medida a partir da base e altura da coluna de mercúrio
\[ \begin{gather} h_{a}=h-h_{m} \tag{III} \end{gather} \]
Aplicando a equação (I), temos a pressão da coluna de água pa
\[ \begin{gather} p_a=\mu_a g h_a \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo equação (III) na equação (IV)
\[ \begin{gather} p_a=\mu_a g\;(h-h_m)\\[5pt] p_a=1000\times 9,8\times(0,8-0,1)\\[5pt] p_a=9800\times 0,7\\[5pt] p_a=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V} \end{gather} \]
A pressão total no fundo do vaso é dada pela soma das equações (II) e (V)
\[ \begin{gather} p=p_m+p_a\\[5pt] p=13328+6860 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p=20188\;\mathrm{Pa}} \end{gather} \]
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