Un vase cylindrique contient du mercure jusqu'à une hauteur de 10 cm, puis de l'eau jusqu'à une hauteur de
80 cm, mesurée à partir de la base. Les masses volumiques du mercure et de l'eau sont respectivement de
13,6 g/cm3 et 1 g/cm3. Déterminer la pression au fond du vase.
Données du problème:
- Masse volumique du mercure: ρm = 13,6 g/cm3;
- Hauteur de la colonne de mercure: hm = 10 cm;
- Masse volumique de l'eau: ρe = 1 g/cm3;
- Hauteur de l'eau à partir de la base: h = 80 cm;
- Accélération locale de la pesanteur: g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème:
Solution:
Premièrement, nous devons convertir les masses volumiques de l'eau et du mercure, données en grammes par centimètre
cube (g/cm3), en kilogrammes par mètre cube (kg/m3), et les hauteurs données en centimètres (cm)
en mètres (m) utilisées dans le Système International d'Unités (SI)
\[
\begin{align}
\rho_m=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}
=13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_e=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}}
=1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
h_m=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m
\end{gather}
\]
La pression de la colonne de liquide, pc, est donnée par la Loi Fondamentale de l'Hydrostatique
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{p_c=\rho gh} \tag{I}
\end{gather}
\]
Pour le mercure, pm
\[
\begin{gather}
p_m=\rho_m g h_m \\[5pt]
p_m=13600\times 9,8\times 0,1 \\[5pt]
p_m=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II}
\end{gather}
\]
La hauteur de la colonne d'eau, he, sera la différence entre la hauteur mesurée à partir de la base
et la hauteur de la colonne de mercure
\[
\begin{gather}
h_e=h-h_{m} \tag{III}
\end{gather}
\]
En appliquant l'équation (I), nous obtenons la pression de la colonne d'eau, pe
\[
\begin{gather}
p_e=\rho_a g h_a \tag{IV}
\end{gather}
\]
En substituant l'équation (III) dans l'équation (IV)
\[
\begin{gather}
p_e=\rho_a g\;(h-h_m) \\[5pt]
p_e=1000\times 9,8\times(0,8-0,1) \\[5pt]
p_e=9800\times 0,7 \\[5pt]
p_e=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V}
\end{gather}
\]
La pression totale au fond du vase est donnée par la somme des équations (II) et (V)
\[
\begin{gather}
p=p_m+p_e\\[5pt]
p=13328+6860
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{p=20188\;\mathrm{Pa}}
\end{gather}
\]
DE
EN
ES
PT-BR
