Exercice Résolu sur les Mécanique des Fluides
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Un vase cylindrique contient du mercure jusqu'à une hauteur de 10 cm, puis de l'eau jusqu'à une hauteur de 80 cm, mesurée à partir de la base. Les masses volumiques du mercure et de l'eau sont respectivement de 13,6 g/cm3 et 1 g/cm3. Déterminer la pression au fond du vase.


Données du problème:
  • Masse volumique du mercure:    ρm = 13,6 g/cm3;
  • Hauteur de la colonne de mercure:    hm = 10 cm;
  • Masse volumique de l'eau:    ρe = 1 g/cm3;
  • Hauteur de l'eau à partir de la base:    h = 80 cm;
  • Accélération locale de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème:

Figure 1

Solution

Premièrement, nous devons convertir les masses volumiques de l'eau et du mercure, données en grammes par centimètre cube (g/cm3), en kilogrammes par mètre cube (kg/m3), et les hauteurs données en centimètres (cm) en mètres (m) utilisées dans le Système International d'Unités (SI)
\[ \begin{align} \rho_m=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}} =13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \end{align} \]
\[ \begin{gather} \rho_e=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}} =1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} h_m=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m \end{gather} \]
\[ \begin{gather} h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m \end{gather} \]
La pression de la colonne de liquide, pc, est donnée par la Loi Fondamentale de l'Hydrostatique
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p_c=\rho gh} \tag{I} \end{gather} \]
Pour le mercure, pm
\[ \begin{gather} p_m=\rho_m g h_m\\[5pt] p_m=13600\times 9,8\times 0,1\\[5pt] p_m=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II} \end{gather} \]
La hauteur de la colonne d'eau, he, sera la différence entre la hauteur mesurée à partir de la base et la hauteur de la colonne de mercure
\[ \begin{gather} h_e=h-h_{m} \tag{III} \end{gather} \]
En appliquant l'équation (I), nous obtenons la pression de la colonne d'eau, pe
\[ \begin{gather} p_e=\rho_a g h_a \tag{IV} \end{gather} \]
En substituant l'équation (III) dans l'équation (IV)
\[ \begin{gather} p_e=\rho_a g\;(h-h_m)\\[5pt] p_e=1000\times 9,8\times(0,8-0,1)\\[5pt] p_e=9800\times 0,7\\[5pt] p_e=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V} \end{gather} \]
La pression totale au fond du vase est donnée par la somme des équations (II) et (V)
\[ \begin{gather} p=p_m+p_e\\[5pt] p=13328+6860 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p=20188\;\mathrm{Pa}} \end{gather} \]
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