Esercizio Risolto di Condensatori
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Un condensatore è formato da due piastre di area A e distanza 2d, tra queste piastre sono inseriti due isolanti con costanti dielettriche k1 e k2 e spessore d, come nella figura. Determinare la capacità di questo nuovo condensatore. Data la permittività del vuoto ε0.

 

Dati del problema:

  • Area delle piastre del condensatore:    A;
  • Distanza tra le piastre del condensatore:    2d;
  • Costante dielettrica dell’isolante 1:    k1;
  • Spessore dell’isolante 1:    d;
  • Costante dielettrica dell’isolante 2:    k2;
  • Spessore dell’isolante 2:    d;
  • Permittività del vuoto:    ε0.

Soluzione:

Questo condensatore si comporta come un’associazione in serie di due condensatori diversi riempiti con isolanti di costanti dielettriche k1 e k2 (Figura 1). La capacità di un condensatore è data da
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]
Figura 1

Se non ci fosse la presenza degli isolanti (cioè se tra le piastre ci fosse il vuoto), le capacità sarebbero

\[ \begin{gather} C_{01}=C_{02}=\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{I} \end{gather} \]

Con la presenza degli isolanti, la nuova capacità sarà data da

\[ \begin{gather} C_1=k_1 C_{01} \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_2=k_2 C_{02} \tag{II-b} \end{gather} \]

sostituendo l'equazione (I) nelle equazioni (II-a) e (II-b)

\[ \begin{gather} C_1=k_1\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_2=k_2\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{IV} \end{gather} \]

Per un’associazione in serie di due condensatori, il condensatore equivalente Ceq è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}} \tag{V} \end{gather} \]

sostituendo l'equazione (III) e l'equazione (IV) nell'equazione (V)

\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{k_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{k_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}+k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}} \end{gather} \]

mettendo   \( \varepsilon_0\frac{A}{d} \)   in evidenza al denominatore

\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{k_1\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\left(k_1+k_2\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2}\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]
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