Exercice Résolu sur les Condensateurs
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Un condensateur est formé de deux plaques de l'aires A et d'une distance 2d. Entre ces plaques sont placés deux isolants de permittivité relative ε1 et ε2 et d'épaisseur d, comme illustré sur la figure. Déterminer la capacité de ce nouveau condensateur. Étant donné la permittivité du vide ε0.


Données du problème:
  • L'aires des plaques du condensateur:    A;
  • Distance entre les plaques du condensateur:    2d;
  • Permittivité relative de l'isolant 1:    ε1;
  • Épaisseur de l'isolant 1:    d;
  • Permittivité relative de l'isolant 2:    ε2;
  • Épaisseur de l'isolant 2:    d;
  • Permittivité du vide:    ε0.
Solution

Ce condensateur se comporte comme une association en série de deux condensateurs différents remplis d'isolants de permittivité relative ε1 et ε2 (Figure 1). La capacité d'un condensateur est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]
Figure 1

Si la présence des isolants n'était pas là (si les plaques étaient sous vide), les capacités seraient
\[ \begin{gather} C_{01}=C_{02}=\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{I} \end{gather} \]
Avec la présence des isolants, la nouvelle capacité sera donnée par
\[ \begin{gather} C_1=\varepsilon_1 C_{01} \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_2=\varepsilon_2 C_{02} \tag{II-b} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (I) dans les équations (II-a) et (II-b)
\[ \begin{gather} C_1=\varepsilon_1\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_2=\varepsilon_2\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{IV} \end{gather} \]
Pour une association en série de deux condensateurs, le condensateur équivalent Ceq est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}} \tag{V} \end{gather} \]
en remplaçant les équations (III) et (IV) dans l'équation (V)
\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{\varepsilon_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\varepsilon_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\varepsilon_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}+\varepsilon_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}} \end{gather} \]
en factorisant   \( \varepsilon_0\frac{A}{d} \)   dans le dénominateur
\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{\varepsilon_1\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\varepsilon_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{\varepsilon_1 \varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]
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