Gelöste Aufgabe zu Kondensatoren

Ein Kondensator besteht aus zwei Platten mit der Fläche A und dem Abstand 2d. Zwischen diesen Platten werden zwei Isolatoren mit den Dielektrizitätskonstanten k₁ und k₂ sowie der Dicke d eingesetzt, wie in der Abbildung gezeigt. Bestimmen Sie die Kapazität dieses neuen Kondensators. Gegeben ist die Permittivität des Vakuums ε₀.

Gegebene Daten:

Fläche der Kondensatorplatten: A;
Abstand zwischen den Kondensatorplatten: 2d;
Dielektrizitätskonstante des Isolators 1: k₁;
Dicke des Isolators 1: d;
Dielektrizitätskonstante des Isolators 2: k₂;
Dicke des Isolators 2: d;
Permittivität des Vakuums: ε₀.

Lösung:

Dieser Kondensator verhält sich wie eine Reihenschaltung von zwei verschiedenen Kondensatoren, die mit Isolatoren der Dielektrizitätskonstanten k₁ und k₂ gefüllt sind (Abbildung 1). Die Kapazität eines Kondensators ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]

Abb. 1

Wenn keine Isolatoren vorhanden wären (wenn zwischen den Platten Vakuum wäre), dann wären die Kapazitäten

\[ \begin{gather} C_{01}=C_{02}=\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{I} \end{gather} \]

Mit der Anwesenheit der Isolatoren wird die neue Kapazität gegeben durch

\[ \begin{gather} C_1=k_1 C_{01} \tag{II-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C_2=k_2 C_{02} \tag{II-b} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (I) in die Gleichungen (II-a) und (II-b)

\[ \begin{gather} C_1=k_1\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{III} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C_2=k_2\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{IV} \end{gather} \]

Für eine Reihenschaltung von zwei Kondensatoren ist die Ersatzkapazität C_eq gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}} \tag{V} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichungen (III) und (IV) in die Gleichung (V)

\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{k_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{k_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}+k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}} \end{gather} \]

Faktorisieren von \( \varepsilon_0\frac{A}{d} \) im Nenner

\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{k_1\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\left(k_1+k_2\right)} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2}\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]

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