Ejercicio Resuelto sobre Condensadores
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Un condensador está formado por dos placas de áreas A y una distancia de 2d entre ellas, y
entre estas placas se colocan dos aislantes con constantes dieléctricas κ1 y
κ2 y una espesor de d, como se muestra en la figura. Determinar la
capacidad de este nuevo condensador. Dado la permitividad del vacío ε0.
Datos del problema:
- Área de las placas del condensador: A;
- Distancia entre las placas del condensador: 2d;
- Constante dieléctrica del aislante 1: κ1;
- Espesor del aislante 1: d;
- Constante dieléctrica del aislante 2: κ2;
- Espesor del aislante 2: d;
- Permitividad del vacío: ε0.
Este condensador se comporta como una asociación en serie de dos condensadores diferentes llenos de
aislantes con constantes dieléctricas κ1 y κ2 (Figura 1).
La capacidad de un condensador está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\varepsilon_0\frac{A}{d}}
\end{gather}
\]
Si no hubiera presencia de los aislantes (si las placas estuvieran en el vacío), las capacidades serían
\[
\begin{gather}
C_{01}=C_{02}=\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{I}
\end{gather}
\]
Con la presencia de los aislantes, la nueva capacidad será dada por
\[
\begin{gather}
C_1=\kappa_1 C_{01} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_2=\kappa_2 C_{02} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (I) en las ecuaciones (II-a) y (II-b)
\[
\begin{gather}
C_1=\kappa_1\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_2=\kappa_2\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para una asociación en serie de dos condensadores, el condensador equivalente Ceq se da por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}} \tag{V}
\end{gather}
\]
sustituyendo las ecuaciones (III) y (IV) en la ecuación (V)
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{\kappa_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\kappa_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\kappa_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}+\kappa_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}
\end{gather}
\]
factorizando
\( \varepsilon_0\frac{A}{d} \)
en el denominador
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{\kappa_1\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\kappa_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\left(\kappa_1+\kappa_2\right)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{eq}=\frac{\kappa_1 \kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\varepsilon_0\frac{A}{d}}
\end{gather}
\]
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