Esercizio Risolto di Moto Unidimensionale

FISICAEXE

Durante una nebbia un navigatore riceve due segnali emessi simultaneamente da una stazione sulla costa, uno attraverso l'aria e l'altro attraverso l'acqua. Tra le ricezioni dei due suoni trascorre un intervallo di tempo Δt=5 secondi. Nelle condizioni dell'esperimento, la velocità del suono ha i valori di 341 m/s nell'aria e 1504 m/s nell'acqua. Determinare la distanza x tra la barca e la stazione che emette i segnali.

Dati del problema:

Velocità del suono nell'aria: v_ar = 341 m/s;
Velocità del suono nell'acqua: v_ag = 1504 m/s;
Intervallo di tempo tra le ricezioni: Δt = 5 s.

Schema del problema:

Poiché l'onda sonora che si propaga nell'acqua ha una velocità maggiore, essa arriva prima alla barca. Essendo t il tempo di propagazione dell'onda nell'acqua, e t+Δt il tempo di propagazione dell'onda nell'aria (sarà la somma del tempo t di propagazione nell'acqua con il ritardo Δt che essa ha perché la propagazione è più lenta).

Figura 1

Scegliamo un sistema di riferimento orientato verso destra con origine nella posizione di emissione del suono. La posizione iniziale delle onde sonore sarà S_0ar = S_0ag = 0, la posizione della barca è x, posizione finale dove le onde devono arrivare S_ar = S_ag = x.

Soluzione:

Poiché le onde possiedono una velocità costante, esse sono in Moto Rettilineo Uniforme, dato da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v t} \tag{I} \end{gather} \]

Applicando l'equazione (I) all'onda che si propaga nell'acqua

\[ \begin{gather} S_{ag}=S_{0ag}+v_{ag}t \\[5pt] x=0+1504t \\[5pt] x=1504t \tag{II} \end{gather} \]

Applicando l'equazione (I) all'onda che si propaga nell'aria

\[ \begin{gather} S_{ar}=S_{0ar}+v_{ar}t \\[5pt] x=0+341(t+\Delta t) \\[5pt] x=341(t+5) \tag{III} \end{gather} \]

Dall'equazione (II) possiamo isolare il valore di t

\[ \begin{gather} t=\frac{x}{1504} \tag{IV} \end{gather} \]

sostituendo l'equazione (IV) nell'equazione (III)

\[ \begin{gather} x=341\left(\frac{x}{1504}+5\right) \\[5pt] x=\frac{341}{1504}x+341\times 5 \\[5pt] x=\frac{341}{1504}x+1705 \\[5pt] x-\frac{341}{1504}x=1705 \end{gather} \]

moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per 1504

\[ \begin{gather} \qquad\qquad\qquad x-\frac{341}{1504}x=1705 \qquad (\times 1504) \\[5pt] 1504 x-\cancel{1504}\times\frac{341}{\cancel{1504}}x=1705\times 1504 \\[5pt] 1163x=2564320 \\[5pt] x=\frac{2564320}{1163} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {x\approx 2205\;\mathrm m} \end{gather} \]