Während eines Nebels empfängt ein Navigator zwei gleichzeitig von einer Küstenstation ausgesandte Signale, eines durch die Luft und das andere durch das Wasser. Zwischen dem Empfang der beiden Schallsignale vergeht ein Zeitintervall von Δt=5 Sekunden. Unter den Versuchsbedingungen beträgt die Schallgeschwindigkeit 341 m/s in der Luft und 1504 m/s im Wasser. Bestimmen Sie den Abstand x zwischen dem Boot und der Sendestation.

Gegebene Daten:

• Schallgeschwindigkeit in der Luft: v_l = 341 m/s;
• Schallgeschwindigkeit im Wasser: v_w = 1504 m/s;
• Zeitintervall zwischen den beiden Signalen: Δt = 5 s.

Schema des Problems:

Da sich die Schallwelle im Wasser mit größerer Geschwindigkeit ausbreitet, erreicht sie das Boot zuerst. Sei t die Ausbreitungszeit der Schallwelle im Wasser und t+Δt die Ausbreitungszeit der Schallwelle in der Luft (also die Summe aus der Ausbreitungszeit t im Wasser und der Verzögerung Δt infolge der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Luft).

Abb. 1

Wir wählen ein Bezugssystem, das nach rechts orientiert ist und dessen Ursprung am Ort der Schallquelle liegt. Die Anfangsposition der Schallwellen ist S_0l = S_0w = 0. Die Position des Bootes ist x, und die Endposition, die beide Schallwellen erreichen müssen, ist S_l = S_w = x.

Lösung:

Da sich die Wellen mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten, führen sie eine Gleichförmige Geradlinige Bewegung aus, beschrieben durch

Anwendung der Gleichung (I) auf die Schallwelle, die sich im Wasser ausbreitet

Anwendung der Gleichung (I) auf die Schallwelle, die sich in der Luft ausbreitet

Aus Gleichung (II) können wir den Wert von t isolieren.

durch Einsetzen der Gleichung (IV) in die Gleichung (III)

multiplikation beider Seiten der Gleichung mit 1504