Exercice Résolu sur les Équations de Cauchy-Riemann
publicité   



e)   \( \displaystyle w=\operatorname e^y(\cos x+i\sin x) \)


Condition 1: La fonction w, donnée dans le problème, est continue sur tout le plan complexe.

Les Équations de Cauchy-Riemann sont données par
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identification des fonctions u(x, y), partie réelle, et v(x, y), partie imaginaire
\[ \begin{array}{l} w=\operatorname e^y(\cos x+i\sin x)\\[5pt] w=\operatorname e^y\cos x+i\operatorname e^y\sin x\\[5pt] u(x,y)=\operatorname e^y\cos x \\[5pt] v(x,y)=\operatorname e^y\sin x \end{array} \]
Calcul des dérivées partielles
\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=-\operatorname e^y\sin x \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=\operatorname e^y\sin x \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=\operatorname e^y\cos x \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=\operatorname e^y\cos x \tag{IV} \end{align} \]
Condition 2: Les dérivées (I), (II), (III) et (IV) sont continues sur tout le plan complexe.

Application des Èquations de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] -\operatorname e^y\sin x\neq\operatorname e^y\sin x \tag{V} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] \operatorname e^y\cos x\neq-\operatorname e^y\cos x \tag{VI} \end{gather} \]
Condition 3: La fonction w ne satisfait pas les Équations de Cauchy-Riemann.

La fonction w est continue, les dérivées sont continues, mais la fonction ne satisfait pas les Équations de Cauchy-Riemann.
La fonction w n'est pas analytique dans le plan complexe .

Les Équations de Cauchy-Riemann ne sont pas satisfaites, mais si dans l'équation (V) nous le faisons
\[ \begin{gather} -\operatorname e^y\sin x=\operatorname e^y\sin x \end{gather} \]
cette égalité n'est valable que si l'expression vaut zéro (dans tous les autres cas on a un nombre positif égal à sa valeur négative). L'exponentielle (ey) ne sera jamais égale à zéro, l'égalité ne sera vraie que si la fonction sinus est égale à zéro
\[ \begin{gather} \sin x=0\\[5pt] x=\operatorname{arcsen}0\\[5pt] \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\pi \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]
et dans l'équation (VI)
\[ \begin{gather} \operatorname e^y\cos x=-\operatorname e^y\cos x \end{gather} \]
ne sera vrai que si
\[ \begin{gather} \cos x=0\\[5pt] x=\arccos 0\\[5pt] \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\frac{\pi}{2} \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]
Comme il n’existe pas de valeur de x qui satisfasse simultanément les deux conditions, la fonction n’est pas différentiable.
La fonction w n'est pas dérivable dans le plan complexe .
publicité   

Creative Commons License
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .