Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
publicidade   



e)   \( \displaystyle w=\operatorname e^y(\cos x+i\operatorname{sen}x) \)


Condição 1: A função w, dada no problema, é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identificando as funções u(x, y), parte real, e v(x, y), parte imaginária
\[ \begin{array}{l} w=\operatorname e^y(\cos x+i\operatorname{sen}x)\\[5pt] w=\operatorname e^y\cos x+i\operatorname e^y\operatorname{sen}x\\[5pt] u(x,y)=\operatorname e^y\cos x \\[5pt] v(x,y)=\operatorname e^y\operatorname{sen}x \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=-\operatorname e^y\operatorname{sen}x \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=\operatorname e^y\operatorname{sen}x \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=\operatorname e^y\cos x \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=\operatorname e^y\cos x \tag{IV} \end{align} \]
Condição 2: As derivadas (I), (II), (III) e (IV) são contínuas em todo o plano complexo.

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] -\operatorname e^y\operatorname{sen}x\neq\operatorname e^y\operatorname{sen}x \tag{V} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] \operatorname e^y\cos x\neq-\operatorname e^y\cos x \tag{VI} \end{gather} \]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w é contínua, as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função w não é analítica no plano complexo .

As Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, mas se na equação (V) fizermos
\[ \begin{gather} -\operatorname e^y\operatorname{sen}x=\operatorname e^y\operatorname{sen}x \end{gather} \]
esta igualdade apenas se verifica se a expressão valer zero (em qualque outro caso temos um número positivo igual ao seu valor negativo). A exponecial (ey) nunca sera igual a zero, a igualdade só será verdadeira se a função seno for igual a zero
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}x=0\\[5pt] x=\operatorname{arcsen}0\\[5pt] \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\pi \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]
e na equação (VI)
\[ \begin{gather} \operatorname e^y\cos x=-\operatorname e^y\cos x \end{gather} \]
só será verdadeira se
\[ \begin{gather} \cos x=0\\[5pt] x=\arccos 0\\[5pt] \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\frac{\pi}{2} \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]
Como não existe um valor de x que satisfaça as duas condições simultâneamente a função não é derivável.
A função w não é derivável no plano complexo .
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .