Ejercicio Resuelto sobre Ecuaciones de Cauchy-Riemann

e) \( \displaystyle w=\operatorname e^y(\cos x+i\operatorname{sen}x) \)

Condición 1: La función w, dada en el problema, es continua en todo el plano complejo.

Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann están dadas por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]

Identificando las funciones u(x, y), parte real, y v(x, y), parte imaginaria

\[ \begin{array}{l} w=\operatorname e^y(\cos x+i\operatorname{sen}x)\\[5pt] w=\operatorname e^y\cos x+i\operatorname e^y\operatorname{sen}x\\[5pt] u(x,y)=\operatorname e^y\cos x \\[5pt] v(x,y)=\operatorname e^y\operatorname{sen}x \end{array} \]

Calculando las derivadas parciales

\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=-\operatorname e^y\operatorname{sen}x \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=\operatorname e^y\operatorname{sen}x \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=\operatorname e^y\cos x \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=\operatorname e^y\cos x \tag{IV} \end{align} \]

Condición 2: Las derivadas (I), (II), (III) y (IV) son continuas en todo el plano complejo.

Aplicando las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] -\operatorname e^y\operatorname{sen}x\neq\operatorname e^y\operatorname{sen}x \tag{V} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] \operatorname e^y\cos x\neq-\operatorname e^y\cos x \tag{VI} \end{gather} \]

Condición 3: La función w no satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.

La función w es continua, las derivadas son continuas, pero la función no satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La función w no es analítica en el plano complejo .

Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann no se satisfacen, pero si en la ecuación (V) sí lo hacemos

\[ \begin{gather} -\operatorname e^y\operatorname{sen}x=\operatorname e^y\operatorname{sen}x \end{gather} \]

esta igualdad solo se verifica si la expresión es igual a cero (en cualquier otro caso, tenemos un número positivo igual a su valor negativo). La exponencial (e^y) nunca será igual a cero, la igualdad solo será verdadera si la función seno es igual a cero

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}x=0\\[5pt] x=\operatorname{arcsen}0\\[5pt] \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\pi \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]

y en la ecuación (VI)

\[ \begin{gather} \operatorname e^y\cos x=-\operatorname e^y\cos x \end{gather} \]

solo será verdadera si

\[ \begin{gather} \cos x=0\\[5pt] x=\arccos 0\\[5pt] \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\frac{\pi}{2} \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]

Como no existe ningún valor de x que satisfaga ambas condiciones simultáneamente, la función no es diferenciable.
La función w no es diferenciable en el plano complejo. .

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