Exercice Résolu sur les Équations de Cauchy-Riemann
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\( \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \)
\[ \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \]
Condition 1: La fonction w, donnée dans le problème, est continue sur tout le plan complexe.
Les Équations de Cauchy-Riemann sont données par
\[
\bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identification des fonctions u(x, y), partie réelle, et v(x, y),
partie imaginaire
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x\\[5pt]
v(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x
\end{array}
\]
Calcul des dérivées partielles
\[
\begin{align}
& \dfrac{\partial u}{\partial x}=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \tag{I} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x \tag{II} \\[5pt]
& \dfrac{\partial u}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\sin x \tag{III} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial x}=-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x \tag{IV}
\end{align}
\]
Condition 2: Les dérivées (I), (II), (III) et (IV) sont continues sur tout le plan complexe.
Application des Èquations de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\sin x=-[-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x]\\[5pt]
(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\sin x\neq(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x
\end{gather}
\]
Condition 3: La fonction w ne satisfait pas les Équations de Cauchy-Riemann.
La fonction w est continue, les dérivées sont continues, mais la fonction ne satisfait pas les Équations de Cauchy-Riemann.
La fonction w n'est pas analytique dans le plan complexe .
La dérivée est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w'=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\sin x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\sin x
\end{gather}
\]
La dérivée n'est pas unique.
La fonction w n’est dérivable en aucun point du plan complexe .
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