Exercice Résolu sur les Équations de Cauchy-Riemann

a) \( \displaystyle w=\left(x^2-y^2-2x\right)+2iy\left(x-1\right) \)

Condition 1: La fonction w, donnée dans le problème, est continue sur tout le plan complexe.

Les Équations de Cauchy-Riemann sont données par

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]

Identification des fonctions u(x, y), partie réelle, et v(x, y), partie imaginaire

\[ \begin{array}{l} u(x,y)=x^2-y^2-2x\\[5pt] v(x,y)=2y\left(x-1\right) \end{array} \]

Calcul des dérivées partielles

\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x-2=2(x-1) \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=2(x-1) \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=-2y \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=2y \tag{IV} \end{align} \]

Condition 2: Les dérivées (I), (II), (III) et (IV) sont continues sur tout le plan complexe.

Application des Èquations de Cauchy-Riemann

\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] 2(x-1)=2(x-1) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] -2y=-2y \end{gather} \]

Condition 3: La fonction w satisfait les Èquations de Cauchy-Riemann.

La fonction w est continue, les dérivées sont continues et les Équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites.
La fonction w est analytique sur tout le plan complexe .
La fonction w est dérivable sur tout le plan complexe (fonction entière) .

La dérivée est donnée par

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {w'=2(x-1)+2yi} \end{gather} \]

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