Ejercicio Resuelto sobre Ecuaciones de Cauchy-Riemann

a) \( \displaystyle w=\left(x^2-y^2-2x\right)+2iy\left(x-1\right) \)

Condición 1: La función w, dada en el problema, es continua en todo el plano complejo.

Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann están dadas por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]

Identificando las funciones u(x, y), parte real, y v(x, y), parte imaginaria

\[ \begin{array}{l} u(x,y)=x^2-y^2-2x\\[5pt] v(x,y)=2y\left(x-1\right) \end{array} \]

Calculando las derivadas parciales

\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x-2=2(x-1) \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=2(x-1) \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=-2y \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=2y \tag{IV} \end{align} \]

Condición 2: Las derivadas (I), (II), (III) y (IV) son continuas en todo el plano complejo.

Aplicando las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] 2(x-1)=2(x-1) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] -2y=-2y \end{gather} \]

Condición 3: La función w satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.

La función w es continua, las derivadas son continuas y se satisfacen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La función w es analítica en todo el plano complejo. .
La función w es derivable en todo el plano complejo (función entera) .

La derivada está dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {w'=2(x-1)+2yi} \end{gather} \]

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