Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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a)   \( \displaystyle w=\left(x^2-y^2-2x\right)+2iy\left(x-1\right) \)


Condição 1: A função w, dada no problema, é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identificando as funções u(x, y), parte real, e v(x, y), parte imaginária
\[ \begin{array}{l} u(x,y)=x^2-y^2-2x\\[5pt] v(x,y)=2y\left(x-1\right) \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x-2=2(x-1) \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=2(x-1) \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=-2y \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=2y \tag{IV} \end{align} \]
Condição 2: As derivadas (I), (II), (III) e (IV) são contínuas em todo o plano complexo.

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] 2(x-1)=2(x-1) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] -2y=-2y \end{gather} \]
Condição 3: A função w satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w é contínua, as derivadas são contínuas e as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
A função w é analítica em todo o plano complexo .
A função w é derivável em todo o plano complexo (função inteira) .

A derivada é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {w'=2(x-1)+2yi} \end{gather} \]
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