Exercice Résolu sur les Statique
EN
ES
PT-BR
publicité
Un alpiniste, de masse 70 kg, est immobile à un certain instant dans la position indiquée sur la figure.
Déterminer:
a) Quelle est le module de la tension dans la corde?
b) Quelle est le module de la force normale exercée sur les pieds de l'alpiniste?
a) Quelle est le module de la tension dans la corde?
b) Quelle est le module de la force normale exercée sur les pieds de l'alpiniste?
Données du problème:
- Masse de l'alpiniste: m = 70 kg;
- Accélération de la pesanteur: g = 9,8 m/s2.
Les forces qui agissent sur le système sont, le poids \( \vec P \) de l'alpiniste, la force de tension \( \vec T \) dans la corde qui le soutient et la force normale de réaction \( \vec N \) exercée par la paroi sur l'alpiniste (Figure 1-A).
La force de tension forme avec la paroi verticale un angle de 30°, traçant une ligne verticale qui passe par la position de l'alpiniste. L'angle entre la force de tension et la verticale à la position de l'alpiniste est également de 30°, ce sont des angles alternes-internes (Figure 1-B).
Solution:
Nous dessinons les forces dans un système de coordonnées xy et décomposons les forces dans ces
directions (Figure 2). Le poids
\( \vec P \)
n'a qu'une composante dans la direction y négative. La force de tension
\( \vec T \)
possède une composante
\( {\vec T}_x \)
dans la direction x négative et une composante
\( {\vec T}_y \)
dans la direction y positive. La force normale de réaction
\( \vec N \)
possède une composante
\( {\vec N}_x \)
dans la direction x positive et une composante
\( {\vec N}_y \)
dans la direction y positive.
Comme le système est en équilibre, la résultante des forces qui agissent sur lui est égale à zéro.
Comme le système est en équilibre, la résultante des forces qui agissent sur lui est égale à zéro.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum\vec F=0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\vec T+\vec N+\vec P=0\\[5pt]
-{\vec T}_x+{\vec T}_y+{\vec N}_x+{\vec N}_y-\vec P=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
- Direction x:
\[
\begin{gather}
T_x=T\sin 30° \tag{II}
\end{gather}
\]
Remarque: contrairement à l'habitude où l'angle est mesuré par rapport à l'axe x et la
composante dans cette direction est proportionnelle au cosinus, ici l'angle est mesuré par rapport à l'axe
y et la composante est proportionnelle au sinus de l'angle.
La composante de la force normale de réaction dans la direction x est donnée par
\[
\begin{gather}
N_x=N\cos 15° \tag{III}
\end{gather}
\]
Le poids n'a pas de composante dans la direction x.
- Direction y:
\[
\begin{gather}
T_y=T\cos 30° \tag{IV}
\end{gather}
\]
La composante de la force normale de réaction dans la direction y est donnée par
\[
\begin{gather}
N_y=N\sin 15° \tag{V}
\end{gather}
\]
Le poids est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VU}
\end{gather}
\]
En substituant les équations (II), (III), (IV), (V) et (VI) dans l'équation (I) et en séparant les
composantes dans les directions x et y:
- Direction x:
\[
\begin{gather}
-T\sin 30°+N\cos 15°=0
\end{gather}
\]
- Direction y:
\[
\begin{gather}
T\cos 30°+N\sin 15°-mg=0
\end{gather}
\]
En Trigonométrie
\( \cos 30°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}=0,8660 \),
\( \sin 30°=\dfrac{1}{2}=0,5000 \),
\( \cos 15°=0,9659 \), \( \sin 15°=0,2588 \).
\( \cos 15°=0,9659 \), \( \sin 15°=0,2588 \).
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
-0,5000T+0,9659N=0\\
0,8660T+0,2588N-70\times 9,8=0
\end{array}
\right. \\[10pt]
\left\{
\begin{matrix}
-0,5000T+0,9659N=0\\
0,8660T+0,2588N=686
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
C'est un système de deux équations à deux inconnues (T et N). En isolant la valeur de T
dans la première équation du système et en substituant dans la deuxième équation
\[
\begin{gather}
-0,5000T+0,9659N=0\\[5pt]
0,5000T=0,9659N\\[5pt]
T=\frac{0,9659}{0,5000}\;N\\[5pt]
T=1,9318N \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0,8660\times1,9318N+0,2588N=686\\[5pt]
1,6729N+0,2588N=686\\[5pt]
N=\frac{686}{1,9318}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N\approx 355,10\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
en substituant cette valeur de la force normale de réaction dans l'équation (VII), nous obtenons la valeur
de la force de tension
\[
\begin{gather}
T=1,9318\times 355,1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T\approx 685,98\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
publicité
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .