Ejercicio Resuelto sobre Estática
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Un montañista, con una masa de 70 kg, en cierto momento está detenido en la posición mostrada en la
figura. Determinar:
a) ¿Cuál es el módulo de la tensión en la cuerda?
b) ¿Cuál es el módulo de la fuerza normal ejercida sobre los pies del montañista?
a) ¿Cuál es el módulo de la tensión en la cuerda?
b) ¿Cuál es el módulo de la fuerza normal ejercida sobre los pies del montañista?
Datos del problema:
- Masa del montañista: m = 70 kg;
- Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s2.
Las fuerzas que actúan en el sistema son: el peso \( \vec P \) del montañista, la tensión \( \vec T \) en la cuerda que sostiene al montañista, y la fuerza normal de reacción \( \vec N \) de la pared sobre el montañista (Figura 1-A).
La tensión forma un ángulo de 30° con la pared vertical, trazando una línea vertical que pasa por la posición del montañista. El ángulo entre la fuerza de tensión y la vertical en la posición del montañista también es de 30°, ya que son ángulos alternos internos (Figura 1-B).
Solución:
Dibujamos las fuerzas en un sistema de ejes xy y descomponemos las fuerzas en esas direcciones
(Figura 2). El peso
\( \vec P \)
tiene solo el componente en la dirección y negativa. La tensión
\( \vec T \)
tiene el componente
\( {\vec T}_x \)
en la dirección x negativa y el componente
\( {\vec T}_y \)
en la dirección y positiva. La fuerza normal de reacción
\( \vec N \)
tiene el componente
\( {\vec N}_x \)
en la dirección x positiva y el componente
\( {\vec N}_y \)
en la dirección y positiva.
Como el sistema está en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.
Como el sistema está en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum\vec F=0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\vec T+\vec N+\vec P=0\\[5pt]
-{\vec T}_x+{\vec T}_y+{\vec N}_x+{\vec N}_y-\vec P=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
- Dirección x:
\[
\begin{gather}
T_x=T\operatorname{sen}30° \tag{II}
\end{gather}
\]
Observación: a diferencia de lo que se hace habitualmente, donde el ángulo se mide respecto
al eje-x y la componente en esa dirección es proporcional al coseno, el ángulo fue medido respecto
al eje-y y la componente es proporcional al seno del ángulo.
La componente de la fuerza normal de reacción en la dirección x está dada por
\[
\begin{gather}
N_x=N\cos 15° \tag{III}
\end{gather}
\]
El peso no tiene componente en la dirección x.
- Dirección y:
\[
\begin{gather}
T_y=T\cos 30° \tag{IV}
\end{gather}
\]
La componente de la fuerza normal de reacción en la dirección y está dada por
\[
\begin{gather}
N_y=N\operatorname{sen}15° \tag{V}
\end{gather}
\]
El peso está dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VU}
\end{gather}
\]
Sustituyendo las ecuaciones (II), (III), (IV), (V) y (VI) en la ecuación (I) y separando las componentes en
las direcciones x y y
- Dirección x:
\[
\begin{gather}
-T\operatorname{sen}30°+N\cos 15°=0
\end{gather}
\]
- Dirección y:
\[
\begin{gather}
T\cos 30°+N\operatorname{sen}15°-mg=0
\end{gather}
\]
De la Trigonometría
\( \cos 30°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}=0,8660 \),
\( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2}=0,5000 \),
\( \cos 15°=0,9659 \), \( \operatorname{sen}15°=0,2588 \).
\( \cos 15°=0,9659 \), \( \operatorname{sen}15°=0,2588 \).
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
-0,5000T+0,9659N=0\\
0,8660T+0,2588N-70\times 9,8=0
\end{array}
\right. \\[10pt]
\left\{
\begin{matrix}
-0,5000T+0,9659N=0\\
0,8660T+0,2588N=686
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T y N). Aislando el valor de T
en la primera ecuación del sistema y sustituyéndolo en la segunda ecuación
\[
\begin{gather}
-0,5000T+0,9659N=0\\[5pt]
0,5000T=0,9659N\\[5pt]
T=\frac{0,9659}{0,5000}\;N\\[5pt]
T=1,9318N \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0,8660\times1,9318N+0,2588N=686\\[5pt]
1,6729N+0,2588N=686\\[5pt]
N=\frac{686}{1,9318}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N\approx 355,10\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
sustituyendo este valor de la fuerza de reacción normal en la ecuación (VII), obtenemos el valor de la tensión
\[
\begin{gather}
T=1,9318\times 355,1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T\approx 685,98\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
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