Um alpinista, de massa 70 kg, em certo instante está parado na posição mostrada na figura. Determinar:
a) Qual o módulo da tensão na corda?
b) Qual o módulo da força normal exercida sobre os pés do alpinista?
Dados do problema:
- Massa do alpinista: m = 70 kg;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
As forças que atuam no sistema são, a força peso
\( \vec P \)
do alpinista, a força de tensão
\( \vec T \)
na corda que sustenta o alpinista e a força normal de reação
\( \vec N \)
do paredão sobre o alpinista (Figura 1-A).
A força de tensão faz com o paredão vertical um ângulo de 30°, traçando uma reta vertical que passa pela
posição do alpinista, o ângulo entre a força de tensão e a vertical na posição do alpinista também vale 30°,
são ângulos alternos internos (Figura 1-B).
Solução:
Desenhamos as forças em um sistema em sistema de eixos coordenados
xy e decompomos as forças
nessas direções (Figura 2). A força peso
\( \vec P \)
tem apenas a componente na direção
y negativo. A força de tensão
\( \vec T \)
possui a componente
\( {\vec T}_x \)
na direção
x negativa e a componente
\( {\vec T}_y \)
na direção
y positivo. A força normal de reação
\( \vec N \)
possui a componente
\( {\vec N}_x \)
na direção
x positivo e a componente
\( {\vec N}_y \)
na direção
y positivo.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum\vec F=0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\vec T+\vec N+\vec P=0\\[5pt]
-{\vec T}_x+{\vec T}_y+{\vec N}_x+{\vec N}_y-\vec P=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
A componente da força de tensão na direção
x é dada por
\[
\begin{gather}
T_x=T\operatorname{sen}30° \tag{II}
\end{gather}
\]
Observação: ao contrário do que se faz usualmente em que o ângulo é medido em relação ao
eixo-x e a componente nessa direção é proporcional ao cosseno, o ângulo foi medido em relação ao
eixo-y e a componente é proporcional ao seno do ângulo.
A componente da força normal de reação na direção
x é dada por
\[
\begin{gather}
N_x=N\cos 15° \tag{III}
\end{gather}
\]
A força peso não possui componente na direção
x.
A componente da força de tensão na direção
y é dada por
\[
\begin{gather}
T_y=T\cos 30° \tag{IV}
\end{gather}
\]
A componente da força normal de reação na direção
y é dada por
\[
\begin{gather}
N_y=N\operatorname{sen}15° \tag{V}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (II), (III), (IV), (V) e (VI) na equação (I) e separando as componentes nas
direções
x e
y:
\[
\begin{gather}
-T\operatorname{sen}30°+N\cos 15°=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T\cos 30°+N\operatorname{sen}15°-mg=0
\end{gather}
\]
Da
Trigonometria
\( \cos 30°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}=0,8660 \),
\( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2}=0,5000 \),
\( \cos 15°=0,9659 \),
\( \operatorname{sen}15°=0,2588 \).
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
-0,5000T+0,9659N=0\\
0,8660T+0,2588N-70\times 9,8=0
\end{array}
\right. \\[10pt]
\left\{
\begin{matrix}
-0,5000T+0,9659N=0\\
0,8660T+0,2588N=686
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
Este é um sistema de duas equações a duas incógnitas (
T e
N). Isolando o valor de
T na
primeira equação do sistema e substituindo na segunda equação
\[
\begin{gather}
-0,5000T+0,9659N=0\\[5pt]
0,5000T=0,9659N\\[5pt]
T=\frac{0,9659}{0,5000}\;N\\[5pt]
T=1,9318N \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0,8660\times1,9318N+0,2588N=686\\[5pt]
1,6729N+0,2588N=686\\[5pt]
N=\frac{686}{1,9318}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N\approx 355,10\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
substituindo este valor da força de reação normal na equação (VII) obtemos o valor da força de tensão
T
\[
\begin{gather}
T=1,9318\times 355,1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T\approx 685,98\;\mathrm N}
\end{gather}
\]