Exercício Resolvido de Estática
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Um alpinista, de massa 70 kg, em certo instante está parado na posição mostrada na figura. Determinar:
a) Qual o módulo da tensão na corda?
b) Qual o módulo da força normal exercida sobre os pés do alpinista?


Dados do problema:
  • Massa do alpinista:    m = 70 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

As forças que atuam no sistema são, a força peso \( \vec P \) do alpinista, a força de tensão \( \vec T \) na corda que sustenta o alpinista e a força normal de reação \( \vec N \) do paredão sobre o alpinista (Figura 1-A).

Figura 1

A força de tensão faz com o paredão vertical um ângulo de 30°, traçando uma reta vertical que passa pela posição do alpinista, o ângulo entre a força de tensão e a vertical na posição do alpinista também vale 30°, são ângulos alternos internos (Figura 1-B).

Solução:

Desenhamos as forças em um sistema em sistema de eixos coordenados xy e decompomos as forças nessas direções (Figura 2). A força peso \( \vec P \) tem apenas a componente na direção y negativo. A força de tensão \( \vec T \) possui a componente \( {\vec T}_x \) na direção x negativa e a componente \( {\vec T}_y \) na direção y positivo. A força normal de reação \( \vec N \) possui a componente \( {\vec N}_x \) na direção x positivo e a componente \( {\vec N}_y \) na direção y positivo.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum\vec F=0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \vec T+\vec N+\vec P=0\\[5pt] -{\vec T}_x+{\vec T}_y+{\vec N}_x+{\vec N}_y-\vec P=0 \tag{I} \end{gather} \]
Figura 2
  • Direção x:
A componente da força de tensão na direção x é dada por
\[ \begin{gather} T_x=T\operatorname{sen}30° \tag{II} \end{gather} \]

Observação: ao contrário do que se faz usualmente em que o ângulo é medido em relação ao eixo-x e a componente nessa direção é proporcional ao cosseno, o ângulo foi medido em relação ao eixo-y e a componente é proporcional ao seno do ângulo.

A componente da força normal de reação na direção x é dada por
\[ \begin{gather} N_x=N\cos 15° \tag{III} \end{gather} \]
A força peso não possui componente na direção x.
  • Direção y:
A componente da força de tensão na direção y é dada por
\[ \begin{gather} T_y=T\cos 30° \tag{IV} \end{gather} \]
A componente da força normal de reação na direção y é dada por
\[ \begin{gather} N_y=N\operatorname{sen}15° \tag{V} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VI} \end{gather} \]
Substituindo as equações (II), (III), (IV), (V) e (VI) na equação (I) e separando as componentes nas direções x e y:
  • Direção x:
\[ \begin{gather} -T\operatorname{sen}30°+N\cos 15°=0 \end{gather} \]
  • Direção y:
\[ \begin{gather} T\cos 30°+N\operatorname{sen}15°-mg=0 \end{gather} \]

Da Trigonometria
\( \cos 30°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}=0,8660 \), \( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2}=0,5000 \),

\( \cos 15°=0,9659 \), \( \operatorname{sen}15°=0,2588 \).

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} -0,5000T+0,9659N=0\\ 0,8660T+0,2588N-70\times 9,8=0 \end{array} \right. \\[10pt] \left\{ \begin{matrix} -0,5000T+0,9659N=0\\ 0,8660T+0,2588N=686 \end{matrix} \right. \end{gather} \]
Este é um sistema de duas equações a duas incógnitas (T e N). Isolando o valor de T na primeira equação do sistema e substituindo na segunda equação
\[ \begin{gather} -0,5000T+0,9659N=0\\[5pt] 0,5000T=0,9659N\\[5pt] T=\frac{0,9659}{0,5000}\;N\\[5pt] T=1,9318N \tag{VII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 0,8660\times1,9318N+0,2588N=686\\[5pt] 1,6729N+0,2588N=686\\[5pt] N=\frac{686}{1,9318} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {N\approx 355,10\;\mathrm N} \end{gather} \]
substituindo este valor da força de reação normal na equação (VII) obtemos o valor da força de tensão T
\[ \begin{gather} T=1,9318\times 355,1 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T\approx 685,98\;\mathrm N} \end{gather} \]
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