Exercice Résolu sur les Mouvement Relatif
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PT-BR
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La roue de rayon R = 15 cm dans la figure roule, sans glisser, parallèlement à un plan vertical.
Le centre C de la roue a une vitesse v = 5 m/s. Quel est le module de la vitesse au point
B, dans les situations suivantes:
a) Le diamètre AB est normal au plan de roulement;
b) Le diamètre AB est parallèle au plan de roulement.
a) Le diamètre AB est normal au plan de roulement;
b) Le diamètre AB est parallèle au plan de roulement.
Données du problème:
- Module de la vitesse du centre de la roue par rapport au sol: v = vC = 5 m/s.
a) Comme tous les points de la roue se déplacent avec la même vitesse du centre, nous avons que le module
du vecteur vitesse au point B par rapport au centre de la roue est également
vB/C = 5 m/s (si la vitesse était différente, certains points se déplaceraient plus
vite que d'autres et la roue se déformerait).
Si le diamètre AB est normal au plan de roulement, nous pouvons avoir deux situations (Figure 1).
Si le diamètre AB est normal au plan de roulement, nous pouvons avoir deux situations (Figure 1).
Figure 1
- Le point B se trouve dans la partie inférieure de la roue en contact avec le sol, le vecteur
vitesse au point B a un sens opposé au vecteur vitesse du centre de la roue, donc le module
de la vitesse du point B par rapport au sol sera
\[ \begin{gather} v_{\small B}=v_{\small C}-v_{\small{B/C}}\\[5pt] v_{\small B}=5-5 \end{gather} \]\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{\small B}=0} \end{gather} \]
- Le point B se trouve dans la partie supérieure de la roue, le vecteur vitesse au point
B a le même sens que le vecteur vitesse du centre de la roue, donc le module de la vitesse du
point B par rapport au sol sera
\[ \begin{gather} v_{\small B}=v_{\small C}+v_{\small{B/C}}\\[5pt] v_{\small B}=5+5 \end{gather} \]\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{\small B}=10\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
b) Si le diamètre AB est parallèle au plan de roulement, alors le vecteur vitesse au point
B par rapport au centre,
\( v_{\small{B/C}} \),
est perpendiculaire au vecteur vitesse du centre de la roue,
\( v_{\small C} \),
(Figure 2), et le module de la vitesse au point B par rapport au sol,
\( v_{\small B} \),
sera donné par le Théorème de Pythagore.
\[
\begin{gather}
v_{\small B}^2=v_{\small C}^2+v_{\small{B/C}}^2\\[5pt]
v_{\small B}^2=5^2+5^2\\[5pt]
v_{\small B}^2=25+25\\[5pt]
v_{\small B}=\sqrt{50\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{\small B}=7,1\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
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