Exercice Résolu sur les Mouvement Bidimensionnel et Mouvement Relatif

Exercice Résolu sur les Mouvement Bidimensionnel

Trois sphères identiques sont lancées d'une même hauteur h avec des vitesses de même module. La sphère A est lancée verticalement vers le bas, B est lancée verticalement vers le haut et C est lancée horizontalement. Laquelle d'entre elles atteint le sol avec la plus grande vitesse en module, en négligeant la résistance de l'air.

Données du problème:

Vitesse de lancement: v₀;
Hauteur du point de lancement: h.

Solution

Sphère A:

Nous choisissons un référentiel orienté vers le haut avec une origine au sol, l'accélération de la pesanteur et la vitesse de la sphère A sont négatives, elles sont orientées dans le sens opposé au référentiel (Figure 1). Le mouvement de la sphère est un lancement vertical vers le bas sous l'action de l'accélération de la pesanteur, selon l'équation de vitesse en fonction de l'accélération et du déplacement, sa vitesse finale au sol sera

\[ \begin {gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \tag{I} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} v^2=(-v_0)^2+2(-g)\Delta S\\[5pt] v^2=v_0^2-2g(0-h)\\[5pt] v^2=v_0^2-2g(-h)\\[5pt] v^2=v_0^2+2gh\\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{II} \end{gather} \]

Figure 1

Sphère B:

Le mouvement de la sphère se divise en deux parties. La première partie est un lancement vertical vers le haut, la sphère monte jusqu'à une hauteur H, sa vitesse devient nulle. La seconde partie du mouvement est une chute libre à partir du repos.
Dans la première partie, la vitesse initiale de lancement est positive, elle est orientée dans le même sens que le référentiel, et la vitesse finale est nulle, v_H = 0, c'est l'instant où la sphère s'arrête et inverse son mouvement pour commencer à tomber (Figure 2-A).

Figure 2

En écrivant l'équation (I) pour la première partie, nous trouvons la hauteur atteinte par la sphère

\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2a\Delta S\\[5pt] v_H^2=v_0^2+2(-g)\Delta S\\[5pt] 0^2=v_0^2-2g(H-h)\\[5pt] 0=v_0^2-2gH+2gh\\[5pt] 2gH=v_0^2+2gh\\[5pt] H=\frac{v_0^2+2gh}{2g} \tag{III} \end{gather} \]

Dans la seconde partie, chute libre, la vitesse initiale sera la vitesse finale de la première partie, elle sera nulle, v_0H = v_H = 0, et la hauteur initiale sera donnée par l'équation (III). En appliquant l'équation (I), nous obtenons la vitesse avec laquelle la sphère atteint le sol

\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2a\Delta S\\[5pt] v^2=v_{0H}^2+2(-g)\Delta S\\[5pt] v^2=0^2-2g(0-H)\\[5pt] v^2=0-2g(-H)\\[5pt] v^2=0+2gH\\[5pt] v^2=\cancel{2g}\left(\frac{v_0^2+2gh}{\cancel{2g}}\right)\\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{IV} \end{gather} \]

Sphère C:

Le mouvement doit être décomposé dans les directions x et y (Figure 3-A).

Figure 3

Dans la direction x, il n'y a pas d'accélération agissant sur la sphère, elle est en Mouvement Uniforme (MU), pour un même intervalle de temps, les déplacements le long de l'axe x sont égaux (Δ x₁=Δ x₂=Δ x₃=Δ x₄=Δ x₅ - Figure 3-B). La composante de la vitesse dans cette direction sera la propre vitesse de lancement de la sphère v₀

\[ \begin{gather} v_x=v_0 \tag{V} \end{gather} \]

Dans la direction y, nous avons l'accélération de la presanteur agissant sur la sphère, donc elle est en Mouvement Uniformément Varié (MUV), pour un même intervalle de temps, les déplacements sont de plus en plus grands (Δ y₁<Δ y₂<Δ y₃<Δ y₄<Δ y₅). Initialement, la vitesse est nulle v_0y = 0, la vitesse dans cette direction est donnée par l'équation (I), avec a = −g

\[ \begin{gather} v_y^2=v_{0y}^2+2(-g)\Delta S_y\\[5pt] v_y^2=0^2-2g(0-h)\\[5pt] v_y^2=0-2g(-h)\\[5pt] v_y^2=2gh \tag{VI} \end{gather} \]

La vitesse avec laquelle la sphère atteint le sol est donnée par la somme des composantes dans les directions x et y, données par les équations (V) et (VI) respectivement, en utilisant le Théorème de Pythagore (Figure 4)

\[ \begin{gather} v^2=v_x^2+v_y^2\\[5pt] v^2=v_0^2+2gh\\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{VII} \end{gather} \]

Figure 4

En comparant les équations (II), (IV) et (VII), nous voyons que toutes les sphères atteignent le sol avec la même vitesse.

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