Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Bidimensional
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Tres esferas idénticas se lanzan desde una misma altura h con velocidades de igual magnitud. La esfera A se lanza verticalmente hacia abajo, la B se lanza verticalmente hacia arriba y la C se lanza horizontalmente. ¿Cuál de ellas llega al suelo con la mayor velocidad en módulo, despreciando la resistencia del aire?


Datos del problema:
  • Velocidad de lanzamiento:    v0;
  • Altura del punto de lanzamiento:    h.
Solución
  • Esfera A:
Tomamos un sistema de referencia orientado hacia arriba con origen en el suelo, la aceleración de la gravedad y la velocidad de la esfera A son negativas, están orientadas en contra del sentido del referencial (Figura 1). El movimiento de la esfera es un lanzamiento vertical hacia abajo, bajo la acción de la aceleración de la gravedad, por la ecuación de velocidad en función de la aceleración y el espacio recorrido, la velocidad final en el suelo será
\[ \begin {gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v^2=(-v_0)^2+2(-g)\Delta S\\[5pt] v^2=v_0^2-2g(0-h)\\[5pt] v^2=v_0^2-2g(-h)\\[5pt] v^2=v_0^2+2gh\\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1
  • Esfera B:
El movimiento de la esfera se divide en dos partes. La primera parte es un lanzamiento vertical hacia arriba, la esfera sube hasta una altura H, su velocidad se anula. La segunda parte del movimiento es una caída libre desde el reposo.
En la primera parte la velocidad inicial de lanzamiento es positiva, está orientada en el mismo sentido del referencial, y la velocidad final es nula, vH = 0, es el instante en que la esfera se detiene e invierte el movimiento para comenzar a caer (Figura 2-A).

Figura 2

Escribiendo la ecuación (I) para la primera parte encontramos la altura alcanzada por la esfera
\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2a\Delta S\\[5pt] v_H^2=v_0^2+2(-g)\Delta S\\[5pt] 0^2=v_0^2-2g(H-h)\\[5pt] 0=v_0^2-2gH+2gh\\[5pt] 2gH=v_0^2+2gh\\[5pt] H=\frac{v_0^2+2gh}{2g} \tag{III} \end{gather} \]
En la segunda parte, caída libre, la velocidad inicial será la velocidad final de la primera parte, que será nula, v0H = vH = 0, y la altura inicial será dada por la ecuación (III). Aplicando la ecuación (I) tenemos la velocidad con que la esfera llega al suelo
\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2a\Delta S\\[5pt] v^2=v_{0H}^2+2(-g)\Delta S\\[5pt] v^2=0^2-2g(0-H)\\[5pt] v^2=0-2g(-H)\\[5pt] v^2=0+2gH\\[5pt] v^2=\cancel{2g}\left(\frac{v_0^2+2gh}{\cancel{2g}}\right)\\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{IV} \end{gather} \]
  • Esfera C:
El movimiento debe descomponerse en las direcciones x y y (Figura 3-A).

Figura 3

En la dirección x no hay aceleración actuando sobre la esfera, está en Movimiento Uniforme (MU), para un mismo intervalo de tiempo los desplazamientos a lo largo del eje x son iguales (Δ x1=Δ x2=Δ x3=Δ x4=Δ x5 - Figura 3-B). El componente de la velocidad en esta dirección será la propia velocidad de lanzamiento de la esfera v0
\[ \begin{gather} v_x=v_0 \tag{V} \end{gather} \]
En la dirección y tenemos la aceleración de la gravedad actuando sobre la esfera, por lo tanto, está en Movimiento Uniformemente Variado (MUV), para un mismo intervalo de tiempo los desplazamientos son cada vez mayores (Δ y1<Δ y2<Δ y3<Δ y4<Δ y5). Inicialmente la velocidad es nula v0y = 0, la velocidad en esta dirección está dada por la ecuación (I), con a = −g
\[ \begin{gather} v_y^2=v_{0y}^2+2(-g)\Delta S_y\\[5pt] v_y^2=0^2-2g(0-h)\\[5pt] v_y^2=0-2g(-h)\\[5pt] v_y^2=2gh \tag{VI} \end{gather} \]
La velocidad con que la esfera alcanza el suelo está dada por la suma de los componentes en las direcciones x y y, dadas por las ecuaciones (V) y (VI) respectivamente, usando el Teorema de Pitágoras (Figura 4).
\[ \begin{gather} v^2=v_x^2+v_y^2\\[5pt] v^2=v_0^2+2gh\\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{VII} \end{gather} \]
Figura 4

Comparando las ecuaciones (II), (IV) y (VII) vemos que todas las esferas llegan al suelo con la misma velocidad.
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