Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional
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Três esferas idênticas são lançadas de uma mesma altura h com velocidades de mesmo módulo. A esfera A é lançada verticalmente para baixo, B é lançada verticalmente para cima e C é lançada horizontalmente. Qual delas chega ao solo como maior velocidade em módulo, despreze a resistência do ar.

Dados do problema:

  • Velocidade de lançamento: v0;
  • Altura do ponto de lançamento: h.

Solução:

  • Esfera A:

Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem no solo, a aceleração da gravidade e a velocidade da esfera A são negativas, estão orientadas contra o sentido do referencial (Figura 1). O movimento da esfera é um lançamento vertical para baixo sob a ação da aceleração da gravidade, pela Equação de Torricelli sua velocidade final no solo será

\[ \begin {gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v^2=(-v_0)^2+2(-g)\Delta S \\[5pt] v^2=v_0^2-2g(0-h) \\[5pt] v^2=v_0^2-2g(-h) \\[5pt] v^2=v_0^2+2gh \\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1
  • Esfera B:

O movimento da esfera se divide em duas partes. A primeira parte é um lançamento vertical para cima, a esfera sobe até uma altura H, sua velocidade se anula. A segunda parte do movimento que é uma queda livre a partir do repouso.
Na primeira parte a velocidade inicial de lançamento é positiva, está orientada no mesmo sentido do referencial, e a velocidade final é nula, vH = 0, é o instante em que a esfera para e inverte o movimento para começar a cair (Figura 2-A).

Figura 2

Escrevendo a equação (I) para a primeira parte encontramos a altura atingida pela esfera

\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2a\Delta S \\[5pt] v_H^2=v_0^2+2(-g)\Delta S \\[5pt] 0^2=v_0^2-2g(H-h) \\[5pt] 0=v_0^2-2gH+2gh \\[5pt] 2gH=v_0^2+2gh \\[5pt] H=\frac{v_0^2+2gh}{2g} \tag{III} \end{gather} \]

Na segunda parte, queda livre, a velocidade inicial será a velocidade final da primeira parte, ela será nula, v0H = vH = 0, e a altura inicial será dada pela equação (III). Aplicando a equação (I) temos a velocidade com que a esfera chega ao solo

\[ \begin{gather} v^2=v_0^2+2a\Delta S \\[5pt] v^2=v_{0H}^2+2(-g)\Delta S \\[5pt] v^2=0^2-2g(0-H) \\[5pt] v^2=0-2g(-H) \\[5pt] v^2=0+2gH \\[5pt] v^2=\cancel{2g}\left(\frac{v_0^2+2gh}{\cancel{2g}}\right) \\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{IV} \end{gather} \]
  • Esfera C:

O movimento deve ser decomposto nas direções x e y (Figura 3-A).

Figura 3

Na direção x não há aceleração atuando sobre a esfera, ela está em Movimento Uniforme (M.U.), para um mesmo intervalo de tempo os deslocamentos ao longo do eixo-x são iguais (Δ x1=Δ x2=Δ x3=Δ x4=Δ x5 - Figura 3-B). A componente da velocidade nessa direção será a própria velocidade de lançamento da esfera v0

\[ \begin{gather} v_x=v_0 \tag{V} \end{gather} \]

Na direção y temos a aceleração da gravidade atuando sobre a esfera, portanto ela está em Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), para um mesmo intervalo de tempo os deslocamentos são cada vez maiores (Δ y1<Δ y2<Δ y3<Δ y4<Δ y5). Inicialmente a velocidade é nula v0y = 0, a velocidade nessa direção é dada pela equação (I), com a = −g

\[ \begin{gather} v_y^2=v_{0y}^2+2(-g)\Delta S_y \\[5pt] v_y^2=0^2-2g(0-h) \\[5pt] v_y^2=0-2g(-h) \\[5pt] v_y^2=2gh \tag{VI} \end{gather} \]
A velocidade com que a esfera atinge o solo é dada pela soma das componentes nas direções x e y, dadas pelas equações (V) e (VI) respectivamente, usando o Teorema de Pitágoras (Figura 4)
\[ \begin{gather} v^2=v_x^2+v_y^2 \\[5pt] v^2=v_0^2+2gh \\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{VII} \end{gather} \]
Figura 4

Comparando as equações (II), (IV) e (VII) vemos que todas as esferas chegam ao solo com a mesma velocidade .

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