\( \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \)
\[ \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \]
Condição 1: A função w, dada no problema, é contínua em todo o plano complexo.
As
Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[
\bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identificando as funções
u(
x,
y), parte real, e
v(
x,
y), parte
imaginária
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\\[5pt]
v(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x
\end{array}
\]
Calculando as derivadas parciais
\[
\begin{align}
& \dfrac{\partial u}{\partial x}=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \tag{I} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x \tag{II} \\[5pt]
& \dfrac{\partial u}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \tag{III} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial x}=-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \tag{IV}
\end{align}
\]
Condição 2: As derivadas (I), (II), (III) e (IV) são contínuas em todo o plano complexo.
Aplicando as
Equações de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x=-[-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x]\\[5pt]
(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x
\end{gather}
\]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função
w é contínua, as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as
Equações de Cauchy-Riemann.
A função
w
não é analítica no plano complexo
.
A derivada é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w'=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x
\end{gather}
\]
A derivada não é única.
A função
w
não é derivável em nenhum ponto do plano complexo
.