Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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\( \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \)
\[ \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \]



Condição 1: A função w, dada no problema, é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identificando as funções u(x, y), parte real, e v(x, y), parte imaginária
\[ \begin{array}{l} u(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\\[5pt] v(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \tag{I} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x \tag{II} \\[5pt] & \dfrac{\partial u}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \tag{III} \\[5pt] & \dfrac{\partial v}{\partial x}=-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \tag{IV} \end{align} \]
Condição 2: As derivadas (I), (II), (III) e (IV) são contínuas em todo o plano complexo.

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] (\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt] (\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x=-[-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x]\\[5pt] (\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \end{gather} \]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w é contínua, as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função w não é analítica no plano complexo .

A derivada é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} w'=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \end{gather} \]
A derivada não é única.

A função w não é derivável em nenhum ponto do plano complexo .
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