Ejercicio Resuelto sobre Ecuaciones de Cauchy-Riemann
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\( \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \)
\[ \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \]
Condición 1: La función w, dada en el problema, es continua en todo el plano complejo.
Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann están dadas por
\[
\bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identificando las funciones u(x, y), parte real, y v(x, y), parte
imaginaria
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\\[5pt]
v(x,y)=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x
\end{array}
\]
Calculando las derivadas parciales
\[
\begin{align}
& \dfrac{\partial u}{\partial x}=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x \tag{I} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x \tag{II} \\[5pt]
& \dfrac{\partial u}{\partial y}=(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \tag{III} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial x}=-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x \tag{IV}
\end{align}
\]
Condición 2: Las derivadas (I), (II), (III) y (IV) son continuas en todo el plano complejo.
Aplicando las Ecuaciones de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x=-[-(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x]\\[5pt]
(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x
\end{gather}
\]
Condición 3: La función w no satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La función w es continua, las derivadas son continuas, pero la función no satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La función w no es analítica en el plano complejo .
La derivada está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w'=(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\cos x-i(\operatorname e^y-\operatorname e^{-y})\operatorname{sen}x
\end{gather}
\]
La derivada no es única.
La función w no es diferenciable en ningún punto del plano complejo .
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