Exercício Resolvido de Dinâmica
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  • Solução 2 do problema:
A equação da velocidade em função da posição v(x) é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[5px,border:5px solid #99CCFF] {v^2(x)=-4x^2+100} \tag{I} \end{gather} \]
  • Solução 3 do problema:
As equações de movimento e da velocidade são dadas em função do tempo
\[ \begin{gather} x(t)=5\operatorname{sen}2t \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v(t)=10\cos 2t \tag{III} \end{gather} \]
isolando o tempo t na equação (II)
\[ \begin{gather} t=\frac{1}{2}\operatorname{arcsen}\frac{x}{5} \end{gather} \]
substituindo esse valor na equação (III) obtemos a equação da velocidade em função da posição v(x)
\[ \begin{gather} v=10\cos 2t\\[5pt] v=10\cos\left(\cancel 2\times\frac{1}{\cancel 2}\operatorname{arcsen}\frac{x}{5}\right) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[5px,border:5px solid #99CCFF] {v(x)=10\cos\left(\operatorname{arcsen}\frac{x}{5}\right)} \tag{IV} \end{gather} \]
Vamos mostrar que a equação (IV) é igual à equação (I).
Na equação (IV) definindo θ como
\[ \begin{gather} \theta=\operatorname{arcsen}\frac{x}{5}\\[5pt] \operatorname{sen}\theta=\frac{x}{5}\\[5pt] \operatorname{sen}\theta=\frac{\frac{x}{5}}{1} \end{gather} \]
θ é o ângulo de um triângulo retângulo com hipotenusa igual à 1 e catetos iguais a \( \left(\frac{x}{5}\right) \) e b (Figura 1).
Aplicando o Teorema de Pitágoras encontramos o valor do cateto b
\[ \begin{gather} h^2=a^2+b^2\\[5pt] 1^2=\left(\frac{x}{5}\right)^2+b^2\\[5pt] b=\sqrt{1-\left(\frac{x}{5}\right)^2\;} \end{gather} \]
Figura 1

O cosseno do ângulo θ é dado por (Figura 2)
\[ \begin{gather} \cos\theta=\frac{b}{1}=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{x}{5}\right)^2\;}}{1}\\[5pt] \cos\left(\operatorname{arcsen}\frac{x}{5}\right)=\sqrt{1-\frac{x^2}{25}\;} \tag{V} \end{gather} \]
Figura 2
Substituindo o valor do cosseno em (V) na equação (IV)
\[ \begin{gather} v=10\sqrt{1-\frac{x^2}{25}\;}\\[5pt] v^2=\left(10\sqrt{1-\frac{x^2}{25}\;}\right)^2\\[5pt] v^2=100\left(1-\frac{x^2}{25}\right)\\[5pt] v^2=100\left(\frac{25-x^2}{25}\right)\\[5pt] v^2=4(25-x^2)\\[5pt] \qquad\qquad v^2=100-4x^2\qquad (:2)\\[5pt] \frac{v^2}{2}=\frac{100}{2}-\frac{4x^2}{2}\\[5pt] \frac{v^2}{2}=\frac{-{4x^2}}{2}+50 \end{gather} \]
E a equação trigonométrica (IV) é igual à equação algébrica (I), elas representam o mesmo sistema físico.
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Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .