Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
publicidade

Dois carros disputam uma corrida de dragsters em uma distância de 402 m (distância mais comum de ¼ de milha). Os carros partem do repouso, o carro A possui uma aceleração de 5 m/s2 e atinge uma velocidade máxima de 36 m/s, o carro B possui uma aceleração de 4 m/s2 e atinge uma velocidade máxima de 40 m/s. Determine:
a) Qual carro ganha a corrida?
b) Se após a linha de chegada os carros, ao invés de parar, continuassem correndo um dos carros ultrapassaria o outro?

Dados do problema:

  • Velocidade máxima do carro A: va = 36 m/s;
  • Aceleração do carro A: aa = 5 m/s2;
  • Velocidade máxima do carro B: vb = 40 m/s;
  • Aceleração do carro B: ab = 4 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita com origem no ponto largada dos carros. As velocidades iniciais estão no mesmo sentido do referencial.

Figura 1

Os carros partem do repouso e aceleram até atingir suas velocidades máximas, e continuam a correr com velocidades constantes (Figura 1).

Solução:

a) Resolvendo em três partes separadamente.

Primeiro, devemos encontrar o intervalo de tempo e a posição que cada carro tem até atingir suas velocidades máximas. Os carros estão acelerando, estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) a função horária da velocidade é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+at} \end{gather} \]

escrevendo esta equação para cara um dos carros obtemos o tempo que eles levam para ir do repouso até a velocidade máxima

  • Carro A:
\[ \begin{gather} v_a=v_{0a}+a_at_a \\[5pt] 36=0+5t_a \\[5pt] t_a=\frac{36}{5} \\[5pt] t_a=7,2\;\mathrm s \end{gather} \]
  • Carro B:
\[ \begin{gather} v_b=v_{0b}+a_bt_b \\[5pt] 40=0+4t_b \\[5pt] t_b=\frac{40}{4} \\[5pt] t_b=10\;\mathrm s \end{gather} \]

A função horária da posição é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

escrevendo esta equação para cara um dos carros e usando o intervalo de tempo em que eles acelera, encontrado acima, obtemos a posição que eles estão quando atingem a velocidade máxima

  • Carro A:
\[ \begin{gather} S_a=S_{0a}+v_{0a}t_a+\frac{a_a}{2}t_a^2 \\[5pt] S_a=0+0\times 7,2+\frac{5}{2}\times 7,2^2 \\[5pt] S_a=2,5\times 51,8 \\[5pt] S_a=129,6\;\mathrm m \end{gather} \]
  • Carro B:
\[ \begin{gather} S_b=S_{0b}+v_{0b}t_b+\frac{a_b}{2}t_b^2 \\[5pt] S_b=0+0\times 10+\frac{4}{2}\times 10^2 \\[5pt] S_b=2\times 100 \\[5pt] S_b=200\;\mathrm m \end{gather} \]
Observação: até o instante 7,2 s ambos os carros estão acelerando, o carro A está na frente do carro B. A partir desse instante o carro A atinge sua velocidade máxima e começa a se mover com velocidade constante, enquanto o carro B continua a acelerar até o instante igual a 10 s (Gráfico 1).
Gráfico 1

Segundo, devemos encontrar a posição do carro A quando ele se desloca entre 7,2 s e 10 s com velocidade constante, ele está em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), a função horária do movimento uniforme é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \tag{I} \end{gather} \]

a posição inicial desta parte do movimento será a posição encontrada acima, S0A = Sa = 129,6 m, a velocidade desta parte do movimento será a velocidade máxima que o carro atinge, va = 36 m/s, e o intervalo de tempo será ta = 10−7,2 = 2,8 s

\[ \begin{gather} S_a=S_{0a}+v_at_a \\[5pt] S_a=129,6+36\times 2,8 \\[5pt] S_a=229,4\;\mathrm m \end{gather} \]
Observação: entre os instantes 7,2 s e 10 s o carro A se move com velocidade constante dado por um segmento de reta, enquanto o carro B continua acelerando dado por um arco de parábola (Gráfico 2). A partir do instante 10 s ambos os carros se deslocam com velocidade constante com o carro A a frente do carro B.
Gráfico 2

Terceiro, devemos calcular o intervalo de tempo para os carros se deslocarem da posição em que se encontram no instante 10 s até a linha de chegada. As posições em que os carros se encontram no instante 10 s será a posição inicial de cada carro para essa terceira parte, S0A = 229,4 m e S0B = 200 m.

Figura 2

Os carros correm com velocidades constantes, escrevendo a equação (I) para cada um deles

\[ \begin{gather} S_a=S_{0a}+v_at_a \\[5pt] 402=229,4+36t_a \\[5pt] t_a=\frac{402-229,4}{36} \\[5pt] t_a=4,79\;\mathrm s \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_b=S_{0b}+v_bt_b \\[5pt]402=200+40t_b \\[5pt] t_b=\frac{402-200}{40} \\[5pt] t_b=5,05\;\mathrm s \end{gather} \]

O carro A ganha a corrida.

Observação: a partir do instante 10 s os carros se deslocam com velocidades constantes, o carro A com velocidade máxima menor do que a velocidade do carro B, va < vb, consegue cruzar a linha de chegada em primeiro lugar (Gráfico 3).

Gráfico 3

O intervalo de tempo total da corrida para o carro B é de 15,05 s.

b) A partir do instante 10 s a equação de movimento de cada um dos carros, aplicando a equação (I), é dada por

\[ \begin{gather} S_a=S_{0a}+v_at \\[5pt] S_a=229,4+36t \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_b=S_{0b}+v_bt \\[5pt] S_b=200+40t \end{gather} \]

para encontrarmos a posição em que ocorre a ultrapassagem devemos impor a condição de igualdade das duas equações acima, e encontrar o instante de tempo da ultrapassagem

\[ \begin{gather} S_{A}=S_b \\[5pt] 229,4+36t=200+40t \\[5pt] t=\frac{29,4}{4} \\[5pt] t=7,35\;\mathrm s \end{gather} \]

substituindo esse instante na equação para o carro A (ou B) encontramos a posição

\[ \begin{gather} S_a=229,4+36\times 7,35 \\[5pt] S_a=229,4+264,6 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_a=S_b=494\;\mathrm m} \end{gather} \]
Observação: como o carro B tem velocidade maior do que o carro A em uma distância maior ele ultrapassará o carro A. Isto acontece no instante 17,35 s após o início da corrida na posição 494 m (Gráfico 4).

Gráfico 4
publicidade